【推荐1】在平面直角坐标平面中，的周长为，两个顶点为，
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线，直线与点的轨迹相交弦分别为，求四边形的面积的最小值.

【推荐2】已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，线段的中点为D，过的中点E且平行于的直线交于点P．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与动点P的轨迹交于点M，N，直线与相交于点Q．求证：的面积是定值．

【推荐3】P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值．

【推荐1】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.
（1）求椭圆的方程和直线的斜率；
（2）求面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，椭圆C的离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，若椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于P、Q两点，且始终满足，作交于点M，求的最大值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.