【推荐1】在数列中，，，且数列是等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，证明：．

【推荐2】若存在常数，使对任意的，都有，则称数列为数列.
（1）已知是公差为2的等差数列，其前n项和为.若是数列，求的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.
①求证：数列是等比数列；
②设，试证明：存在常数，对于任意的，数列都是数列.

【推荐3】已知点在椭圆上，，分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线平行于（为原点），且与椭圆交于两点、，与直线交于点（介于、两点之间，且点在左侧）.

（1）当面积最大时，求的方程；
（2）求证：；并判断，，，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？

【推荐1】从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：设数列的前n项和为，且，，   ，且        ，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【推荐2】已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列的前n项和．
(I)求数列的通项公式；
(II)设, 求数列的前n项和．

【推荐3】是等比数列，公比大于0,其前n项和为是等差数列.已知.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为；
（3）若   则数列前n项和
①求
②若对任意，均有恒成立，求实数m的取值范围.
（4）由（3）知对于数列的不等式问题，一般都是求最值，那么在数列中求一个数列最值的方法有哪些？
（5）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，，求这个新数列的前项和.
（6）设，其中求
（7）是否存在新数列，满足等式 成立，若存在,求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由.
（8）通过解本题体会数列求和方法，数列求和方法的本质是什么？

【推荐1】已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和，并求满足的所有正整数.

【推荐2】已知等差数列的前项和为，，为整数，且对任意都有．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在（2）的条件下，若数列满足．是否存在实数，使得数列是单调递增数列．若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知数列满足，且.
(1)求 的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，证明：