【推荐1】已知动圆过定点,且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点为一个定点，过点E作斜率分别为的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)求轨迹H的方程；
(2)若，求证：直线MN过定点．

【推荐2】已知点，直线与轴交于点，动点到两点的距离之比为2．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设与轴交于两点，是直线上一点，且点不在上，直线分别与交于另一点，证明：三点共线．

【推荐3】已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设点，若的最大值为，求实数的值.

【推荐1】已知抛物线E：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点.
(1)求面积的最小值；
(2)设直线交抛物线的准线于点，求证：平行于轴.

【推荐2】已知斜率为2的直线交抛物线于、两点，求证：
(1)线段AB的中点在一条定直线上
(2)为定值（O为坐标原点，、分别为直线OA、OB的斜率）

【推荐3】已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：点定在直线上；
(3)椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），使得直线过点？若存在，求出切线、的方程；若不存在，试说明理由．