【推荐1】设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

【推荐2】若数列满足：，且，则称为一个X数列. 对于一个X数列，若数列满足：，且，则称为的伴随数列.
(1)若X数列中，，，，写出其伴随数列中的值；
(2)若为一个X数列，为的伴随数列.
①证明：“为常数列”是“为等比数列”的充要条件；
②求的最大值.

【推荐3】已知集合.
（1）求证：函数；
（2）某同学由（1）又发现是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；
（3）设为非零常数，求的充要条件，并给出证明.

【推荐1】已知是各项均为正数的无穷数列，且满足，.
（1）若，，求a的值；
（2）设数列满足，其前n项的和为.
①求证：是等差数列；
②若对于任意的，都存在，使得成立.求证：.

【推荐2】各项不为0的数列满足，且．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

【推荐3】已知等比数列满足，；数列满足．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若不等式恒成立，求的取值范围．

【推荐1】如图所示，已知，与的夹角为，点是的外接圆优孤上的一个动点（含端点），记与的夹角为，并设，其中为实数．

(1)求外接圆的直径；
(2)试将表示为的函数，并指出该函数的定义域；
(3)求为直径时，的值．

【推荐2】如图所示，在中，在线段BC上，满足，O是线段的中点.

       

(1)当时，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，
①求的最小值；
②设的面积为，的面积为，求的最小值.
(2)若的面积为，，且，，，，，是线段BC的n等分点，其中，n、，，求的最小值.