【推荐1】已知数列满足，．
(1)求的值并证明数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式并证明：．

【推荐2】已知是等比数列的前项和，其中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的最大项和最小项．

【推荐3】数列满足．
(1)求；
(2)求数列的前n项和；
(3)数列的前n项和为，且，证明：对任意的．

【推荐1】已知数列：，，…，.如果数列：，，满足，，其中，则称为的“衍生数列”.
(1)若数列：，，，的“衍生数列”是：5，，7，2，求；
(2)若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；
(3)若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，…依次将数列，，，…第（）项取出，构成数列：，，….求证：是等差数列.

【推荐2】定义：对于任意n∈N^*，x_n+x_n+2-x_n+1仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
（1）已知a_n=2ⁿ（n∈N^*），判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，b₃=3，b₉=9，且对于任意n∈N^*，均有b_n<b_n+1成立，求数列的通项公式.

【推荐3】将数列按照一定的规则，依顺序进行分组，得到一个以组为单位的序列称为的一个分群数列，称为这个分群数列的原数列．如，，…，是的一个分群数列，其中第k个括号称为第k群．已知的通项公式为．
(1)若的一个分群数列中每个群都含有3项；该分群数列第k群的中间一项为，求数列的通项公式；
(2)若的一个分群数列满足第k群含有k项，为该分群数列的第k群所有项构成的数集，设，求集合M中所有元素的和．