【推荐1】已知函数．
(1)若，证明：在上单调递增；
(2)若恰有3个零点，求的取值范围．

【推荐2】已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)当时,求函数的单调递增区间;
(3)当时,的反函数为,求的值.

【推荐3】已知，其中是实常数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求证：函数的零点有且仅有一个；
（3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：.

【推荐1】已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

【推荐2】定义在上的函数，如果对任意的，都有成立，则称为阶伸缩函数.
（）若函数为二阶伸缩函数，且当时，，求的值.
（）若为三阶伸缩函数，且当时，，求证：函数在上无零点.
（）若函数为阶伸缩函数，且当时，的取值范围是，求在上的取值范围.

【推荐3】设定义在上的函数满足：对任意的，当时，都有.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）若
①记，求数列的通项公式；
②求的值.

【推荐1】形如的函数，我们称之为“海鸥函数”，它具有如下性质：当，时，该函数在和上是减函数，在和上是增函数.已知函数.
(1)若为偶函数，求的值；
(2)若对于任意，，恒成立，求的取值范围.

【推荐2】对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数.
(1)设，，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围.
(2)设函数，，是否能够生成一个函数，且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够生成，则求函数的解析式，否则说明理由.

【推荐3】已知函数的定义域为，其导函数为，对任意的都有，则称函数为上的“梦想函数”．
(1)已知函数，试判断是否是其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
(2)已知函数，．试求一个定义域，使成为其定义域上的“梦想函数”，并说明理由；
(3)已知函数，为其定义域上的梦想函数，求实数的取值范围；当取最大负整数时，进一步求出函数的值域．