【推荐1】已知：把和按如图（1）摆放（点与点重合），点、（）、在同一条直线上．，，，，．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以2 cm/s的速度沿向点匀速移动.当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为．

（1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？
（2）连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

【推荐2】已知：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A₁B₁C，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图①，当α＝60°时，连接A₁B交B₁C于点D，则A₁B的长是　 　；
（2）如图②，当点B₁在线段BA的延长线上时，求线段AB₁的长；
（3）如图③，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F₁，线段EF₁的长是否存在最大值和最小值？若存在请求出线段EF₁长度的最大值与最小值的差；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).

(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.

【推荐1】已知，如图，在正方形中，点P在射线上，连接，，M、N分别为、中点，连接交于点Q．

(1)如图1，当点P与点D重合时，直接写出的度数；
(2)当点P在线段的延长线上时，
①依题意补全图2；
②在点P运动过程中，请你对线段与的数量关系进行猜想，并说明理由．
(3)若过点B作直线的垂线交其于点H，连接，若，请直接写出线段长度的最大值．

【推荐2】在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．

(1)如图①，当点E落在DC边上时，直接写出线段EC的长度为        ；
(2)如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC
①求证：△ACD≌△CAE；
②求线段DH的长度．
(3)如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系 中， 的半径为2．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，中一条经过点O，另一条是的切线，则称点C是弦 的“关联点”．
   
(1)如图，点，，．
① 在点，，中，弦的“关联点”是：_______；
② 若点C是弦的“关联点”，求点C的坐标；
(2)已知点，，对于线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．记的长为t，当点S在线段上运动时，直接t的最小值和最大值．

【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，点D是平面内一动点（不与点C重合），连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转60°，得到线段DE（点E不与点B重合），连接BE．取CD的中点P，连接AP．

(1)如图（1），当点E落在线段AC上时， =　　　　　　，直线AP与直线BE相交所成的较小角的度数为________．
(2)如图（2），当点E落在平面内其他位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)若AC=6，CP=3，当点B，D，E在同一条直线上时，请直接写出线段AP的长．

【推荐2】在等腰直角三角形中，，点为的中点，以为斜边作直角三角形，连接．

                                          
(1)当点在的内部时，如图①，求证：；
(2)当点在的外部时，如图②、图③，线段之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需要证明．
(3)若则_________，_________．

【推荐3】如图，点，，分别是正方形的边，的中点，与交于点，连接.
（1）写出线段与的数量关系和位置关系，并证明；
（2）求的度数．

【推荐2】如图1，四边形是一张长方形纸片，E为BC的中点，F为上一个动点，将纸片沿折叠后，点C、D分别落在、的位置上．

（1）在图1中，与交于点G，若，请你求出的度数．
（2）在图2中，与交于点H，试求的度数．
（3）折叠后，得到的重合部分的图形能否是等边三角形？若能，直接写出的度数；若不能，说明理由．

【推荐3】综合与探究：已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为，解答下列问题：

(1)当时，求的值；
(2)点，同时出发，为何值时，以，，为顶点的三角形与相似；
(3)如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，直接写出此时的值；若不存在，说明理由，（不写求解过程）