【推荐1】一次函数的图象经过点且与直线平行，求这个函数表达式．

【推荐2】小强从家骑自行车去体育场，在那里锻炼了一段时间后又骑自行车到文具店去买笔，然后骑自行车回家，小强离家的距离与所用的时间的函数关系如图所示．

观察图象，解答下列问题：
(1)小强到达离家最远的地方用了______；
(2)小强出发后离家______；
(3)求小强从家出发后，经过多长时间离家．

【推荐3】某超市销售一种水杯，购进时进价为每件20元．销售过程中发现，当每件售价为30元时月销量为200件，每涨价1元月销量减少10件，每降价1元月销量增加10件．已知销售过程中销售单价不低于进价，且每件的利润率不超过．
(1)直接写出每月销售水杯数量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，及的取值范围．
(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
(3)如果超市销售水杯想要每月获得的利润不低于2000元，那么超市每月的成本最多需要多少元？

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．的边在x轴上，A，C，B三点的坐标分别为，，，点P从B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．

（1）求直线的解析式和的边上的高线长；
（2）连接，写出的面积S与t的函数表达式；
（3）是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出P点满足条件时，所有t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点的坐标是．

（1）点的坐标为_______；
（2）求直线的表达式；
（3）若点关于轴的对称点为点，设过点的直线，与四边形有公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【推荐3】如图，在Rt中，，点为边上一个动点，过点作交边于，过点作射线交边于点，交射线于点，联结．设两点的距离为，两点的距离为．

（1）求证：；
（2）求关于的函数解析式，并写出的取值范围；
（3）点在运动过程中，能否构成等腰三角形？如果能，请直接写出的长，如果不能，请简要说明理由．

【推荐1】解答
(1)问题背景
如图（1），已知，平分，求证：．
   
(2)尝试应用：
如图（2），在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．
   
(3)拓展创新：
如图（3），在四边形中，，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究，，之间的数量关系，请直接写出你的结论．
   

【推荐2】【综合与实践】
【动手实验】数学课上，老师带领同学们对角的平分线的性质进行探究：
同学们任作一个，作出的平分线．在上任取一点，过点画出，的垂线，分别记垂足为，，测量，．第一小组的测量结果如下：
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？

学生			学生
小明			小刚
小红			小丽

(1)【实验猜想】我们猜想角的平分线有以下性质：______．
(2)【推理证明】请结合图1，利用三角形全等证明这个性质．
如图1，已知：，点在上，，，垂足分别为，．求证：．
   
(3)【定理应用】如图2，点是的角平分线上一点，，垂足为点，且，点是射线上一动点，求的最小值．
   

【推荐3】如图，在正方形中，点E、F、G分别在上，且，垂足为O．
   
(1)求证：；
(2)若O是的中点，且，，求的长．

【推荐1】在平面直角坐标系中，，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，使轴，为线段上一点，于于，求的值．

【推荐2】综合与实践
如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF，裁成一个边长为4的正方形ABCD和一个长为4、宽为2的长方形CEFD如图2．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至，旋转角为α．

(1)当点恰好落在EF边上时，求旋转角α（0°＜α＜90）的值；
(2)如图3，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：；
(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与存在两次全等，请你帮助小军直接写出当与全等时，旋转角α的值．

【推荐3】如图1，已知线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.
（1）依据题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；
（2）若∠ACB=45°,点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB，将△CDE绕点D顺时针旋转度（0°<<360°）得, 点E的对应点为E’,点C的对应点为点C’.
(i)如图2，当时 ，连接BC’.证明：EF=BC’；
（ii）如图3，点M为DC中点，点P为线段C’E’上任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范围？（直接写出答案）.