【推荐1】如图，已知△ABC是等边三角形， D、 E分别在边AB、AC上，且AD=CE，CD与BE相交于点O．

（1）如图①，求∠BOD的度数；
（2）如图②，如果点D、 E分别在边AB、CA的延长线上时，且AD=CE，求∠BOD的度数．

【推荐2】如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F．
（1）求证：△ADC≌△BDF；
（2）求证：BF＝2AE．

【推荐3】综合与实践
操作发现：
如图1和图2，已知点为正方形的边和上的一个动点（点，，除外），作射线，作于点，于点，于点．
（1）如图1，当点在上（点，除外）运动时，求证：；
　　　　　　　　
（2）如图2，当点在上（点，除外）运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系；
拓广探索：
（3）在（1）的条件下，找出与相等的线段，并说明理由；
（4）如图3，若点为矩形的边上一点，作射线，作于点，于点，于点．若，，则_______．

【推荐1】一块三角形材料如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中，点D，E，F分别在，，上，要使剪出的矩形的面积最大，点E应选在何处？矩形的最大面积是多少？说明理由．

(1)根据题意完成下面填空：若设，则            ；            ；
(2)请你继续完成对本题的解答．

【推荐2】综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与直线交于点A．

（1）求直线的函数表达式和点A的坐标；
（2）根据函数图象，当时，直接写出自变量x的取值范围；
（3）试探究在x轴上是否存在点P，坐标平面内存在点Q使得以点P，Q，A，B为顶点的四边形为菱形（含正方形），若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．

（1）求证：；
（2）点H在边上（不含端点），且，连接交于点N．请在答卷上将图形补充完整并解答：
①判断与的位置关系，并证明你的结论；
②若和的面积分别为a和b，求四边形的面积（用含a和b的代数式表示）．

【推荐2】如图1，正方形ABCD，E为平面内一点，且，把绕点B逆时针旋转得，直线AG和直线CE交于点F．

（1）证明：四边形BEFG是正方形；
（2）若，猜测CE和CF的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，连接DF，若，，求DF的长．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切于点A、C．点D是两条线段BC与AM延长线的交点
（1）求证：DM=AM；
（2）直接回答：
①当CM为     值时，四边形AOCM是正方形？
②当CM为     值时，为等边三角形？

【推荐1】综合与实践
如图①，为直线上一点，在点处将一副直角三角板按如图所示的方式摆放．
   
(1)将图①中的直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由．
(2)如果将图①中的直角三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图③．
①使边在内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系．

【推荐2】如图，等腰中，，绕点逆时针旋转60度后得到（点对应点）．

(1)尺规作图：请作出，并连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，若、、在同一直线上，且点是的中点．证明：四边形是菱形．

【推荐3】如图，先将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，再将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，连接BE、BG、AD，且AC＝4．

(1)若∠ABC＝135°．
①求证：B、E、D三点共线；
②求BG的长；
(2)若∠ABC＝90°，AC＝2CE，点P在边AB上，求线段PD的最小值．