【推荐1】如图，的斜边在轴上，，和的长是方程的两根，是的中点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动时间为秒，的面积为．

(1)求点的坐标；
(2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)在点的运动过程中，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，矩形的两条边，的长是方程的两根，其中，沿直线将矩形折叠，使点与轴上的点重合，

（1）求，两点的坐标；
（2）求直线的解析式；
（3）若点在轴上，平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．
（1）①方程          半等分根方程（填“是”或“不是”）；
②若是半等分根方程，则代数式            ；
（2）若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是半等分根方程吗？并说明理由；
（3）如果方程是半等分根方程，且相异两点，都在抛物线上，试说明方程的一个根为．

【推荐1】问题提出
如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？

问题探究
（）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．
问题拓展
（）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．

【推荐3】如图，在中，，，点为射线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，所在直线与射线交于点，且．
   
(1)当点在线段上，
①求证：；②求的值；
(2)连接，，若，直接写出的长．

【推荐2】【问题背景】已知D、E分别是的边和边上的点，且，则，把绕着点A逆时针方向旋转，连接和.如图2，找出图中的另外一组相似三角形__________；并加以证明．

【迁移应用】如图3，在中，，，，D、E、M分别是、、中点，连接．
①如图4，把绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：__________、__________；
②把绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接和，取中点N，连接，若，求的长．

【创新应用】如图6：，，是直角三角形，，将绕着点A旋转，连接，F是上一点，，连接，请直接写出的取值范围．

【推荐3】如图，点为线段上任一点，为中点，分别以为边向同侧作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，连．

(1)当点在上运动时，
①求证：；
②求的大小．
(2)若，，则直接写出的长．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N点的坐标，并把求其中一个N点坐标的过程写出来．

【推荐2】阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．

(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明理由．
(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝，请你求出直线CD的解析式．
(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向终点运动，过点作轴交直线于点，过点作轴于点，设动点的运动时间为秒．

(1)填空：的长为______，的长为______；
(2)当时，求点的坐标；
(3)当点在的平分线上时，求动点的运动时间的值；
(4)当平分四边形的一边时，请直接写出运动时间的值．