知识背景：我们在《全等三角形》一章中学习了全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．
(1)问题初探：如图
，
中，
，
，点
是
上一点，连接
，以为一边作
，使
，
，连接
，猜想和
有怎样的数量关系，并说明理由．
(2)方法迁移：如图
，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形
，连接，则
、、之间有怎样的数量关系？
直接写出答案，不写过程
(3)类比再探：如图
，中，，，点
是
上一点，点是上一点，连接
，以一边作
，使
，
，连接，则
直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线
(4)拓展创新：如图
，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形
，连接，猜想
的度数，并说明理由．
(1)问题初探：如图
，中，，，点是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．(2)方法迁移：如图
，是等边三角形，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，则、、之间有怎样的数量关系？直接写出答案，不写过程(3)类比再探：如图
，中，，，点是上一点，点是上一点，连接，以一边作，使，，连接，则 直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线(4)拓展创新：如图
，是等边三角形，点是上一点，点是上一点，连接，以为一边作等边三角形，连接，猜想的度数，并说明理由．
更新时间：2022-12-28 10:30:27
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图1，在矩形
中，
，
，点E在上，
，点F在上，
，作射线
．点P从点A出发沿向点D运动，将矩形沿
折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x．
______；
②当
时，
与
全等吗？请说明理由；
(2)当线段
的长最小时，求
的值？
(3)③若点G落在射线上，求x的值；
④请直接写出点G到射线的距离（用含x的式子表示）______．
中，，，点E在上，，点F在上，，作射线．点P从点A出发沿向点D运动，将矩形沿折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x．
______；②当
时，与全等吗？请说明理由；(2)当线段
的长最小时，求的值？(3)③若点G落在射线
上，求x的值；④请直接写出点G到射线
的距离（用含x的式子表示）______．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，直角梯形中，
为边上的中点，过
作
，交边于
，是边上一点，且有
，
．
(1)求证：
；
(2)求证：
．
中，为边上的中点，过作，交边于，是边上一点，且有，． (1)求证：
；(2)求证：
．
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于点
，
且
．
的度数．
．
，求
的值．
恰好在
时，求
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】在
中，
，
，如图所示作正方形
，并连接．
(1)操作发现：如图1，当点D在线段上时，请你直接写出与的位置关系为 ；线段
的数量关系为 ．
(2)猜想论证
当点D在直线上运动时，如图2，是点D在线段的延长线上时，是点D在线段
的延长线上时，
请你直接写出图2，图3中，线段的数量关系：
①图2中线段的数量关系为： ，
②图3中线段的数量关系为：
(3)拓展延伸
当点D在直线上运动时，若
，
①你直接写出三角形的面积 ，
②直接写出线段
的长度 ．
中，，，如图所示作正方形，并连接．(1)操作发现：如图1，当点D在线段
上时，请你直接写出与的位置关系为 ；线段的数量关系为 ．(2)猜想论证
当点D在直线
上运动时，如图2，是点D在线段的延长线上时，是点D在线段的延长线上时，请你直接写出图2，图3中，线段
的数量关系：①图2中线段
的数量关系为： ，②图3中线段
的数量关系为： (3)拓展延伸
当点D在直线
上运动时，若，①你直接写出三角形
的面积 ，②直接写出线段
的长度 ．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，在正方形中，点
是对角线上一点，
的延长线交于点，交
的延长线于点
，连接
．
(1)求证：
；
(2)求证：
；
(3)若
，
，求
的长．
中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：
；(2)求证：
；(3)若
，，求的长．
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，
，问四边形
．试证明：
；
的直角边
和正方形
，连结
．已知
，
，求
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】问题提出：
（1）如图1所示，已知A为
上一点，P为外一点，若
，的半径为2，则
的最小值为_________；
问题探究：
（2）如图2所示，P为等边三角形
内一点，若
，求
的最小值；
问题解决：
（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市
．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．
（1）如图1所示，已知A为
上一点，P为外一点，若，的半径为2，则的最小值为_________；问题探究：
（2）如图2所示，P为等边三角形
内一点，若，求的最小值；问题解决：
（3）由于网购的方便与快捷，极大地促进了物流行业的发展，如图3所示，一条半圆形公路连接着A，B两座城市
．物流公司沿半圆形公路在A，B两地之间进行物流运送．点D为一辆等在半圆形公路上的物流车，随时接收从外地运来的货物以便及时送到A，B两地．为了节约资金，提高物流中转的效率，现需在这个区域内建一个物流中转站P，要求物流中转站P到A，B两城市及半圆形公路上点D的距离之和最小，请帮物流公司求出这个距离和的最小值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】已知：为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，
．
(1)如图1，当E在AC的延长线上且
时，AD是的中线吗？请说明理由；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时，
等于AE吗？请说明理由;
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，．(1)如图1，当E在AC的延长线上且
时，AD是的中线吗？请说明理由；(2)如图2，当E在AC的延长线上时，
等于AE吗？请说明理由;(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．
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中，对角线
，E，F为直线
，连结
，
．
为平行四边形．
，上述结论还成立吗？若
呢？
平分
，
，求四边形
的周长．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图已知
是半径，弦
垂直于
，点是
上的一点，
和
相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，
（1）求证：
；
（2）当
，
时，求
的值．
是半径，弦垂直于，点是上的一点，和相交于另一点，过点的切线和的延长线交于点，（1）求证：
；（2）当
，时，求的值．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】综合与实践
问题情境
在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片中，M是的中点，E是边上任意一点，将
沿折叠，点A落到点F处，连接
并延长，交所在直线于点G．
分析探究
（1）如图1，当所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
解决问题
（2）如图2，连接
，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）图2中，若，直接写出和
的长．
问题情境
在综合实践活动课上，老师以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形纸片
中，M是的中点，E是边上任意一点，将沿折叠，点A落到点F处，连接并延长，交所在直线于点G．分析探究
（1）如图1，当
所在直线经过点M时，试判断线段与的数量关系，并说明理由；解决问题
（2）如图2，连接
，当点E与边的中点M重合时，将沿折叠，点A的对应点F恰好落在矩形的对角线上，判断与的数量关系，并说明理由．（3）图2中，若
，直接写出和的长．
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的直径，AB=8，点D为AB延长线上一点，点 E为半径OB上一点，连接CD、CE、OC，且∠BCD=∠A．
