“景山风云少年”兴趣小组开展了《再探矩形的折叠》这一课题研究．已知矩形
，点
、
分别是
、
边上的动点．
(1)若四边形是正方形，如图①，将四边形
沿
翻折，点
，
的对应点分别为
、
．点恰好是
的中点．
①若
，求
的长度；
②若
与的交点为
，连接
，试说明
；
(2)若
，，如图②，且
，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为
、
．当点从点
运动至点的过程中，点的运动路径长为 ；
(3)如图，已知
，
，
，
，点为边的中点，点、在边
、
上运动，点
在线段
上运动，连接
、
、
，求
的周长最小值．
，点、分别是、边上的动点． (1)若四边形
是正方形，如图①，将四边形沿翻折，点，的对应点分别为、．点恰好是的中点．①若
，求的长度；②若
与的交点为，连接，试说明；(2)若
，，如图②，且，将四边形沿翻折，点、的对应点分别为、．当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为 ；(3)如图，已知
，，，，点为边的中点，点、在边、上运动，点在线段上运动，连接、、，求的周长最小值．
更新时间：2023-12-10 19:10:30
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，已知抛物线y＝a
＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式；
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为 ；
（3）点N为第二象限抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
（4）点P是y轴上的一点，在坐标平面内存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线解析式；
（2）若M是抛物线对称轴上的一点，则△ACM周长的最小值为 ；
（3）点N为第二象限抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标；
（4）点P是y轴上的一点，在坐标平面内存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标．
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(0.4)
【推荐2】已知二次函数y=x2+（2m-4）x+m2-4m-5（m是常数，-1＜m＜5）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，
（1）求二次函数的图象顶点Q的坐标；
（2）求△ABC的面积的最大值；
（3）当-3≤x≤2时，函数的最大值为7，求m的值．
（1）求二次函数的图象顶点Q的坐标；
（2）求△ABC的面积的最大值；
（3）当-3≤x≤2时，函数的最大值为7，求m的值．
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(0.4)
名校
【推荐3】如图，抛物线
与
轴交于
、
两点，与
轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为
，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图像G．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)当符合什么条件时，图像G的最大值与最小值的差为4；
(3)当
时，图像G与直线
有且只有一个公共点时，求出的取值范围；
(4)过点P作
轴于点Q，点E为轴上的一点，纵坐标为
，以
、
为邻边构造矩形
，当图像G在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
与轴交于、两点，与 轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图像G．(1)求出抛物线的解析式；
(2)当
符合什么条件时，图像G的最大值与最小值的差为4；(3)当
时，图像G与直线有且只有一个公共点时，求出的取值范围；(4)过点P作
轴于点Q，点E为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当图像G在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
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(0.4)
【推荐1】如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求AE的长．
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(0.4)
名校
【推荐2】（1）操作发现：如图1，在矩形中，E是
的中点，将
沿折叠后得到
，点F在矩形内部，延长
交于点G．猜想线段
与
有何数量关系？并证明你的结论．
（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）解决问题：保持（1）中的条件不变，若G点是的中点，则在矩形中，求与的比值．
中，E是的中点，将沿折叠后得到，点F在矩形内部，延长交于点G．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形
改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（3）解决问题：保持（1）中的条件不变，若G点是
的中点，则在矩形中，求与的比值．
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的边
、
分别在坐标轴上，且
，反比例函数
的图象与
．
、
，当
的面积为2时．
________；
的面积；
沿
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB， AC交于点E，F点，过点E作EG⊥BC于G．
（1）求证 ：EG是⊙O的切线；
（2）若AF=4，⊙O的半径为4．
①求BE的长．
②若
上有一个动点P，过点E作EQ⊥AP，垂足为Q，当动点P从D运动到F时，Q点所经过的路径长为 ．
（1）求证 ：EG是⊙O的切线；
（2）若AF=4，⊙O的半径为4．
①求BE的长．
②若
上有一个动点P，过点E作EQ⊥AP，垂足为Q，当动点P从D运动到F时，Q点所经过的路径长为 ．
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(0.4)
【推荐2】如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标是（4，4），
(1)求出圆心P的坐标；
(2)求该圆弧的弧长．
(1)求出圆心P的坐标；
(2)求该圆弧的弧长．
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，
，点D为边AB的中点，点E为边BC的中点，将
绕点B逆时针方向旋转
度
．
时，连接AD、CE．求证：
；
的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；
【推荐1】问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，求线段AP的长的取值范围；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，直接求四边形AMPN面积的最大值．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，求线段AP的长的取值范围；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，直接求四边形AMPN面积的最大值．
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(0.4)
名校
【推荐2】如图，在
中，
．
(1)如图1，若
，
，求的面积；
(2)如图2，
为外的一点，连接
且
，
．过点作
交的延长线于点．求证：
．
(3)如图3，在（2）的条件下，作
平分
交
于点，过点作
交的延长线于点．点
为直线
上的一个动点，连接
，过点作
，且始终满足
，连接
．若
，请直接写出
取得最小值时
的值．
中，．(1)如图1，若
，，求的面积；(2)如图2，
为外的一点，连接且，．过点作交的延长线于点．求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，作
平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．
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分别与
，与反比例函数
的图象在第二象限内交于
，
两点，连接
．已知
，
的面积为
．
的解集．
上的一个动点，当
的值最小时，求点
