1 . 如图，已知抛物线与直线交于点，，点是抛物线上，A之间的一个动点，矩形的两个顶点、在直线上，点在点右侧．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当轴时，设点的坐标为，求关于的函数关系式；
(3)当点与点重合时，若矩形的邻边之比为，求点的坐标．

2 . 已知，经过点的抛物线与x轴相交于点及原点O．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点A作轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段于点Q，交抛物线于点P，当四边形为平行四边形时，求的度数；
(3)如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使？若存在，请求出直线解析式；若不存在，请说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，抛物线是常数经过点．点在抛物线上，且点的横坐标为．以点为中心，构造正方形，，且轴．
(1)若点是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点作轴的平行线交抛物线于另一点，连接．当时，求点的坐标；
(2)若，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，或者随的增大而减小时，求的取值范围．

4 . 如图，已知抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值；
(3)如图，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，得到新的抛物线，新抛物线的顶点为，是否在新抛物线的对称轴上存在点，在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

6 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)E是下方的抛物线上一点，过点E作轴交于点D，过点E作y轴的平行线交于点F．求周长的最大值，以及此时点E的坐标；
(3)如图2，在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿y轴向下平移5个单位长度，点P为平移点E的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

7 . 已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长．

8 . 已知抛物线经过点和．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C．若直线与抛物线交于点E，与直线交于点F．
①求长度的最大值，并求出此时m的值；
②若点P在y轴上，则是否存在以点E，F，C，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．

(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．

10 . 已知抛物线
(1)当时，求抛物线的顶点坐标．
(2)无论a为何值，直线与抛物线相交所得的线段（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和的长；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线的顶点分别记为P，Q．是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．