1 . 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一个动点．

   

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当动点在直线上方时，在平面直角坐标系内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，二次函数的图象与轴交于（为坐标原点）、两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点在轴上，．

(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，求面积的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 如图1，抛物线与轴交于点，与直线交于点，点在轴上，点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．

   图1                                                       图2

(1)求抛物线的表达式；
(2)当时，请在图1中过点作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图2，点从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴正方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，直接写出的最小值．

4 . 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，已知抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点是直线下方抛物线上一点，连接，，求面积的最大值；
(3)如图，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，得到新的抛物线，新抛物线的顶点为，是否在新抛物线的对称轴上存在点，在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

7 . 已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．

   

(1)判断的形状，并说明理由．
(2)设点是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作轴于H，交于点Q，设四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和的面积；
(3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．

8 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E．

(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)E是下方的抛物线上一点，过点E作轴交于点D，过点E作y轴的平行线交于点F．求周长的最大值，以及此时点E的坐标；
(3)如图2，在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿y轴向下平移5个单位长度，点P为平移点E的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点，M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

10 . 已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接．
①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标；
②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长．