1 . 如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标．

2 . 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM．
①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形；
②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标．

3 . 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线(a，b，c为常数，且)与x轴交于，B两点，与y轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作轴，垂足为M，交直线于点N．若的面积为，试求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度，得到新的抛物线，如图2，点E为新抛物线上一点，点F为原抛物线对称轴上一点，是否存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：

【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【规律初探】
（2）如图2，正方形的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围；
【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求m的值．

5 . 如图1，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，过点B，C作直线．

(1)求b，c的值和直线的解析式；
(2)点P是直线下方的抛物线上的点，轴与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①如图2，连接，当的面积最大时，试判断四边形的形状，并说明理由；
②如图3，抛物线的对称轴为直线l，直线与x轴交于点E，过点D作直线的垂线，与直线l交于点F，与y轴交于点G，连接．当时，求t的值．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求拋物线的表达式；
(2)如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标．

7 . 如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．

(1)求点，的坐标；
(2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由；
(3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围．

8 . 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点，直线交y轴于点C，点E为直线上方抛物线上的一动点，过点E作轴，垂足为G，分别交直线于点F，H．

(1)求点A，B的坐标；
(2)当时，连接，求的面积；
(3)若点Q是y轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点Q的坐标．

9 . 如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C．

(1)求该二次函数的表达式；
(2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点．
①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积；
②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标；
(3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）．

10 . 综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
(2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
(3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．