1 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、在抛物线上，点为该抛物线的顶点．点为该抛物线上一点，其横坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数关系式．
(2)连接，当轴时，顺次连接点、、、 ，求四边形的面积．
(3)当时，设该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分图像的最低点和最高点到轴的距离分别为、，若，求的取值范围．
(4)当点在第四象限时，作点关于点的对称点，以为对角线构造矩形，该矩形的边均与坐标轴垂直，且点、在该矩形的内部．设抛物线在该矩形内部及边界的图像记为，图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，最低点在该矩形边所在的直线记为，若点到直线的距离等于，直接写出的值．

2 . 对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数，，为常数，且的图象顶点为（不与坐标原点重合），以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．

(1)如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点N的坐标___,并验证点N是否为伴随点___（填“是”或“否”）：
(2)当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题：
①若关联正方形的顶点、在轴的异侧时，求的取值范围：
②当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式；
③关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，是常数）经过点，其对称轴是直线．点在这个抛物线上，其横坐标为，点、的坐标分别为、，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形．

(1)求该抛物线对应的函数关系式；
(2)当点、重合时，求的值；
(3)当抛物线的最低点在矩形的边上时，设该矩形与抛物线交点的纵坐标之差为，求的值；
(4)当该抛物线在矩形内部的部分的图像对应的函数值随增大而减小时，直接写出的取值范围．

5 . 在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，且对称轴为直线，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与重合，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象．
(1)求此抛物线所对应的函数表达式；
(2)当图象的最大值与最小值差为1时，直接写出的取值范围；
(3)图象与直线有且只有一个交点时，求的取值范围；
(4)连结，以为对角线构造矩形，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点（异于点、），点关于的对称点是点，当时，直接写出的值．