1 . 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连结，点，过点D作直线轴．
   
(1)点A的坐标是______，线段______；
(2)证明：四边形是矩形；
(3)以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，，，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α．
①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标；
②在四边形旋转过程中，当时，若，直接写出关于m的方程为______．

2 . 已知，，，，则最大值和最小值的和为__．

3 . 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)

4 . 如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F， 求证：   请在以下的解题过程中的括号里填推理的理由．
证明：∵平分（已知）
∴（_____________________）
∵（已知）
∴（_____________________）
∵是的高（已知）
∴（三角形高的定义）
∴（直角三角形的两锐角互余）
∴（____________________________）
∵（_____________________）
∴（____________________）

5 . 定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
(1)求的值；
(2)若，，，求的值；
(3)若运算的结果为810，则t的值是多少？

6 . 如图，四边形是矩形，动点从出发，沿射线方向移动，作关于直线的对称．

(1)若四边形是正方形，直线与直线相交于点，连接．
①如图，当点在线段上不包括和，说明结论“”成立的理由．
②当点在线段延长线上，试探究：结论是否总是成立？请说明理由．
(2)在矩形中，，，当点在线段延长线上，当为直角三角形时，直接写出的长        ．

7 . 用两种方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：如图，在中，，是斜边上的中线．
求证：．

证法：如图，在的内部作，
与相交于点．
，
______ ．
，
．
又 ______ ，
．
．
，
即是斜边上的中线，且．
又是斜边上的中线，即与重合，
．
请把证法补充完整，并用不同的方法完成证法．

8 . 瑞兔迎春，福满万家吉祥物“兔圆圆”拉开2023央视总台兔年春晚的帷幕．竖直的耳朵、微昂的脑袋、挺起的胸脯等设计巧思，彰显出奋进向上的精气神，某商店用1500元购进了一批“兔圆圆”玩具，过了一段时间，又用3500元购进一批“兔圆圆”玩具，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每个“兔圆圆”玩具的价格比第一次购进的价格贵了5元．
(1)商店第一次购进“兔圆圆”玩具多少个？
(2)若该商店两次购进的“兔圆圆”玩具按相同的标价销售，全部售完后利润不低于1150元，则每个“兔圆圆”玩具的标价至少是多少元？

9 . 计算：

(1)；
(2)；
(3)；
(4)．

10 . 如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，．

(1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由；
(2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值．