1 . 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形）
(1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程）

证明：正方形①的面积________．
正方形②的面积________．
又正方形①与正方形②的边长相等
________________

(2)请你写出弦图（图2）的另一种证法：

2 . 综合与实践
问题背景：三角形的中位线定理是人教版初中数学八下教材的一个重要命题．
如图1，是的中位线．则，且．
(1)如图1，若，则________；
(2)回顾证法：
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法（“倍长中线”法）．
请结合图2，完成“三角形中位线定理”的证明过程；

已知：中，点，分别是，的中点．
求证：，且．
(3)方法迁移：
如图3，四边形和均为正方形，连接，，是的中点，连接，已知线段．请求出线段的长．

3 . 小明想要用四根木棒钉成一个平行四边形的木框（接头忽略不记），他现在已经有了三根长分别为3，3，5的木棒，则第四根木棒的长是________．

4 . （1）计算：
（2）如图，在中，，，过点C作，垂足为D．若，求线段BC的长．

5 . 现有长为、、的三根木条，要想钉一个平行四边形的木框，若不考虑接口，则选用的第四根木条的长度应该为（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，矩形的顶点在原点上，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，直线的解析式为．

(1)求点，，的坐标．
(2)连接交于点，是轴上一动点，求周长的最小值．
(3)若横坐标、纵坐标都是整数的点叫作格点．现将直线向上平移（）个单位长度后记为直线，当直线与坐标轴围成的三角形区域中（不含边界）有且只有四个格点时，请直接写出的取值范围．

7 . 已知平面直角坐标系（如图），过点的直线与y轴交于点A，将此直线向下平移个单位，所得到的直线l与y轴交于点B．

(1)求直线l的表达式；
(2)点C位于第一象限且在直线l上，点D在直线上，如果以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求点C的坐标．

8 . 我们把对角线与一条底边相等的等腰梯形叫做“完美等腰梯形”．若一个“完美等腰梯形”的对角线长为10，且该梯形的一个内角为，则这个梯形的高等于______．

9 . 小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用）

10 . 如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且．

(1)求边的长；
(2)连接，判断的形状；
(3)求这块空地的面积．