1 . 一条抛物线经过和，最高点C的纵坐标是1．
(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；

x
y

(2)设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P（除点A、B、C、E外），先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；
(3)观察（2）的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律？请用文字写出这个规律．

2 . 【发现问题】
P是二次函数的图像上一点，小丽描出的中点Q．当点P运动时，就得到一系列的中点Q，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．

【提出问题】
小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图像上．
【分析问题】
若，则中点（______，______）；若，则中点Q（______，______）．
【解决问题】
请帮助小丽验证她的猜想是否成立．
【问题推广】
若P是二次函数（的常数）的图像上一点，在射线OP上有一点Q，满足（k为常数）．当点P运动时，则点Q也在某函数的图像上运动，请直接写出该函数解析式（用a、k表示）．

3 . 【发现问题】
数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题：
例：如图1，在中，点D是射线上一点，连接，若，求证．

解：∵，，
∴，
∴，
∴．
小睿同学经过分析、思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中，发现了一些规律．
【提出问题】
如图2，点B恰好与点重合，边在x轴上，若点D的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点C的位置发生变化；小睿同学通过描点、观察，提出猜想；按此方式描出的若干个点C都在某二次函数图象上．

【分析问题】
（1）当时，若，所对应的点C的坐标为______．
【解决问题】
（2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想．
【深度思考】
（3）点C的坐标为，当时，n的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点C与点B重合时，依然满足）