1 . 根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以
的速度将小球沿与地面成
角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：
）与飞行时间t（单位：
）之间的函数关系是
，当小球的高度为
时，飞行时间t为________ ．
的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：）与飞行时间t（单位：）之间的函数关系是，当小球的高度为时，飞行时间t为．
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2 . 综合与实践
问题情境：求方程
的解，就是求二次函数
的图象与
轴交点的横坐标、为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足
且
，再分别算出相应的
值．列表得：
操作判断：（1）求
的值．
实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．
如
，
，得到如下数据
，
，
，
，，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少?
问题解决：（3）对于一般的二次函数
，
为常数的函数值变化进行如下研究：
将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论．
问题情境：求方程
的解，就是求二次函数的图象与轴交点的横坐标、为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足且，再分别算出相应的值．列表得：| 的值 | |  |  |  |  |  |
| 的值 | 1 | 0.71 | 0.44 | 0.19 | 0.04 | |
的值．实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．
如
，，得到如下数据，，，，，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少?问题解决：（3）对于一般的二次函数
，为常数的函数值变化进行如下研究：| 的值 | |  |  |  |  |  |
 的值 |  |  |  |  |  |  |
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2024九年级下·江苏·专题练习
3 . 一条抛物线经过
和
，最高点C的纵坐标是1．
(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
(2)设抛物线的对称轴与轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P（除点A、B、C、E外），先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线
的距离；
(3)观察（2）的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律？请用文字写出这个规律．
经过和，最高点C的纵坐标是1．(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
| x | |||||||
| y |
(2)设抛物线的对称轴与
轴的交点为D，抛物线与y轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P（除点A、B、C、E外），先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线的距离；(3)观察（2）的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律？请用文字写出这个规律．
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4 . 如图在平面直角坐标系中，抛物线
上已知点A的坐标为
，过点A作
轴交抛物线于点
，过点作
交抛物线于点
，过点作
轴交抛物线于点
，过点作
交抛物线于点
，…，依此规律进行下去，则点的坐标为______ ，点
的坐标为______ .
上已知点A的坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，…，依此规律进行下去，则点的坐标为的坐标为
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5 . 【发现问题】
数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题：
例：如图1，在
中，点D是射线
上一点，连接
，若
，求证
．
，
，
∴
，
∴
，
∴．
小睿同学经过分析、思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中，发现了一些规律．
【提出问题】
如图2，点B恰好与点
重合，
边在x轴上，若点D的纵坐标始终为
，
，那么随着的变化，点C的位置发生变化；小睿同学通过描点、观察，提出猜想；按此方式描出的若干个点C都在某二次函数图象上．
（1）当
时，若
，所对应的点C的坐标为______．
【解决问题】
（2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想．
【深度思考】
（3）点C的坐标为
，当
时，n的最大值为
，最小值为
，且
，求此时t的值．（规定：当点C与点B重合时，依然满足）
数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题：
例：如图1，在
中，点D是射线上一点，连接，若，求证．
，，∴
，∴
，∴
．小睿同学经过分析、思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中，发现了一些规律．
【提出问题】
如图2，点B恰好与点
重合，边在x轴上，若点D的纵坐标始终为，，那么随着的变化，点C的位置发生变化；小睿同学通过描点、观察，提出猜想；按此方式描出的若干个点C都在某二次函数图象上．
（1）当
时，若，所对应的点C的坐标为______．【解决问题】
（2）当
时，请帮助小睿同学证明他的猜想．【深度思考】
（3）点C的坐标为
，当时，n的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点C与点B重合时，依然满足）
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2024-01-08更新
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196次组卷
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3卷引用：辽宁省鞍山市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
6 . 【发现问题】
P是二次函数
的图像上一点，小丽描出
的中点Q．当点P运动时，就得到一系列的中点Q，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．
小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图像上．
【分析问题】
若
，则中点
（______，______）；若
，则中点Q（______，______）．
【解决问题】
请帮助小丽验证她的猜想是否成立．
【问题推广】
若P是二次函数
（
的常数）的图像上一点，在射线OP上有一点Q，满足
（k为常数）．当点P运动时，则点Q也在某函数的图像上运动，请直接写出该函数解析式（用a、k表示）．
P是二次函数
的图像上一点，小丽描出的中点Q．当点P运动时，就得到一系列的中点Q，如图所示，她发现这些中点的位置有一定的规律．
小丽通过观察，提出猜想：所描的中点都在某二次函数的图像上．
【分析问题】
若
，则中点（______，______）；若，则中点Q（______，______）．【解决问题】
请帮助小丽验证她的猜想是否成立．
【问题推广】
若P是二次函数
（的常数）的图像上一点，在射线OP上有一点Q，满足（k为常数）．当点P运动时，则点Q也在某函数的图像上运动，请直接写出该函数解析式（用a、k表示）．
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7 . 生物兴趣小组在研究校园内银杏树植株
年内的高度时，将得到的数据通过描点、连线得到相应的图像如图所示．现要根据这些数据选用合适的函数模型来描述植株在年内的生长规律．若选择的函数模型是，则a______0，b______0；若选择的函数模型是
，则a______0，b______0．以上四处填入的不等号依次为（ ）
年内的高度时，将得到的数据通过描点、连线得到相应的图像如图所示．现要根据这些数据选用合适的函数模型来描述植株在年内的生长规律．若选择的函数模型是，则a______0，b______0；若选择的函数模型是，则a______0，b______0．以上四处填入的不等号依次为（ ）
A． ， ，， | B．，，， |
| C．，，， | D．，，， |
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8 . 如图，正方形
边长为6，点
，
分别是边
，
上的动点（点不与
、
重合），连接
，
，且
．
；
(2)设
，
的面积为，用含有的式子表示，并写出自变量的取值范围；
(3)结合（2）的关系式，描述的面积随
长度的变化规律．
边长为6，点，分别是边，上的动点（点不与、重合），连接，，且．
；(2)设
，的面积为，用含有的式子表示，并写出自变量的取值范围；(3)结合（2）的关系式，描述
的面积随长度的变化规律．
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名校
9 . 已知和均是以x为自变量的函数，当
时，函数值分别是
和
，若存在实数m，使得
，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）
和均是以x为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数m，使得，则称函数和符合“特定规律”，以下函数和符合“特定规律”的是（ ）A． 和 | B． 和 |
C．和 | D．和 |
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2023-12-15更新
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336次组卷
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4卷引用：浙江省温州市瑞安市温州八校联考2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题
浙江省温州市瑞安市温州八校联考2023-2024学年九年级上学期12月期末数学试题（已下线）数学（浙江卷）-学易金卷：2024年中考第一次模拟考试2024年浙江省部分学校中考数学一模模拟试题2024年浙江省九年级中考第一次模拟考试数学模拟试题
10 . 深圳市某景观公园计划修建一个人工喷泉，从垂直于地面的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分． 记喷出的水流距喷水枪的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，获得数据如表：
小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系
中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；
(2)直接写出水流最高点距离地面的高度为 米；
(3)求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 米． （结果精确到0.1米）
米，距地面的竖直高度为米，获得数据如表：| （米） | 0 | 0.5 | 2 | 3.5 | 5 |
| （米） |  | 2.25 | 3 | 2.25 | 0 |
随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整：
(1)在平面直角坐标系
中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并用平滑曲线画出该函数的图象；(2)直接写出水流最高点距离地面的高度为 米；
(3)求该抛物线的表达式；（结果用一般式表示）
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪水平距离3米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为 米． （结果精确到0.1米）
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