1 . 【问题情境】
如图1，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
（1）四边形的形状是_________；
【解决问题】
（2）若，，则正方形的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．

2 . 如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点、，连接、．

   

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；
(3)若，求的长．

3 . 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，C为的中点，将绕点B逆时针旋转后得到．若反比例函数的图像恰好经过的中点D，则_______．

5 . 【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．

(1)求证：；
(2)求的长

6 . 综合与实践：
问题情境：如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E分别作的垂线，分别交直线于点F，G．

(1)数学思考：线段和的数量关系______．
(2)问题解决：如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，求的值；
(3)问题拓展：在（2）的条件下，当点E为的中点时，请直接写出的面积．

7 . 如图，中，点D、E分别为、的中点．

(1)过点C作，并交延长线于点F（要求尺规作图，保留作图痕迹）；
(2)求证：；
(3)若，求的长．

8 . 综合与实践：
动手操作：某数学课外活动小组利用图形的旋转探究图形变换中蕴含的数学奥秘．如图1，是等腰直角三角形，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．
思考探索：（1）在图1中：的面积为        ；
拓展延伸：（2）如图2，若为任意直角三角形，．将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接，过点作交延长线于点D．猜想三条线段、、的数量关系，并证明．
（3）如图3，在中，，，将边绕点B顺时针旋转得到线段，连接．若点D是的边的高线上的一动点，连接、，则的最小值是        ．

9 . 以原点为中心，把点逆时针旋转得到点，则点的坐标为______．

10 . 如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与C、D重合，过点A作的垂线交延长线于点F，连接．

(1)计算的度数；
(2)如图2，过点A作，垂足为G，连接．用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．