1 . 如图，已知在中，，，点为边上的一点，点为线段上一点．

(1)如图（1），若，延长交于点，边的高交于点．
①若为的平分线，求证：；
②若为的中线，连接，求证：．
(2)如图（2），若且，过点作，交延长线于点，过点作于，求的值．

2 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

3 . 在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点（点不与点、、重合），过点作于点，过点作于点，连接，．
   
【问题探究】如图1，当P点在线段上运动时，延长交于点G．
（1）求证：；
（2）求与的数量关系并说明理由．
【拓展延伸】
（3）①如图2，当P点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；
②当点在射线上运动时，若，，直接写出的面积，不需证明．

4 . 如图1，四边形中，，，点从A点出发，以每秒两个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，三角形的面积为S，S关于的函数图象如图所示，当运动______秒时，三角形的面积为36．

                 

5 . 我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，图形语言说明：如图1所示，在中，，由是中线，可得．
请结合上述结论解决如下问题：
已知：P是边上的一动点(不与A，B集合)，分别过点A、点B向直线作垂线，垂是分别为点E点F，Q为边的中点．
   
(1)如图2所示，当点P与点Q重合时，与的位置关系是____________，与的数量关系是____________．
(2)如图3所示，当点P在线段上不与点Q重合时，试判断与的数量关系，并给与证明．
(3)如图4所示，当点P在线段的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

6 . 如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中一定成立的有（       ）
   

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

8 . 请完成下列各题．

(1)在中，，，直线经过点，于点，于点，当直线旋转到图1的位置时，求证：．
(2)在（1）的条件下，当直线旋转到图2的位置时，猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想．
(3)如图3，在中，于，，于，，于，，求证：．

9 . 已知和，，，．连接、，过点作于点，反向延长线段交于点．

(1)如图1，当时
请直接写出与的数量关系：____________（填“ ”、“”、“”）
求证：
(2)如图2，当时，上述结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

10 . 如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点．

(1)若，，求的度数；
(2)如图1，若，求线段的长的取值范围；
(3)如图2，过点作交延长线于点，设，的面积分别为，，若，试求的最大值．