1 . 综合与实践
问题情境：在“综合与实践”课上，老师出示如下问题，如图1，有一条矩形纸带，E，F分别是边上一点（不与端点重合）．将纸带沿所在的直线折叠，展开铺平，若直线将矩形的面积平分，试猜想与的数量关系，并加以证明．
数学思考：（1）请解答老师提出的问题．
深入探究：（2）老师将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2，并让同学们提出新的问题．请解答各小组提出的问题．
①“善思小组”提出问题，若，时，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
②“智慧小组”提出问题，在①的基础上作平分交于点M，请直接写出，与的数量关系．

2 . 【模型介绍】
如图，，，过点作于点，过点作于点．则．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．

【模型应用】
在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)如图，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，求直线的表达式．下面是小明的想法，请你帮助完成．
小明想利用“一线三等角”模型解决这个问题．如图，过点作的垂线交于点，再过点作轴的垂线，垂足为，可求出点的坐标为______，从而求得直线的表达式为______．
(2)若将直线绕点顺时针旋转，所得直线的表达式为______．
(3)点是线段上的一个动点，点是线段上一动点，若是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______．

3 . 如图，M是直线在第二象限部分上的一个动点，连接，将顺时针旋转得到线段，N是x轴正半轴上一个动点，P为的中点，Q为的中点，连接．下列同学关于的说法中，正确的是__________．
小兰：为定值，长度为2．
小虎：为定值，长度为4．
小天：有最小值，最小值为2．
小灿：有最大值，最大值为4．

4 . 已知：如图1，四边形中，平分，和都是直角．

      

(1)试说明：．
(2)若将原题中的已知条件“和都是直角”改为“和互为补角”，其余条件不变，如图2，猜想：边和邻边的长度是否一定相等？请说明理由．

5 . 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形”为主题展开教学活动，如图1，将边长为4的菱形（其中）沿着对角线剪开，得到和．
   
(1)操作发现：小康将图1中的固定不动，将沿着射线平移一定的距离，得到如图2所示的的图形，与交于点，与交于点，试判段线段与之间的数量关系，并说明理由．
(2)合作探究：小杨将如图1所示的仍固定不动，将沿着某个方向平移一定的距离得到如图3所示的图形．若，恰好是边的三等分点，则六边形的周长为__________．
(3)拓展延伸：小明将图1中的绕着点顺时针旋转角，得到如图4所示的，点的对应点为，与交于点，与交于点，与交于点，连接，求证：垂直平分线段．

6 . 如图，在矩形ABCD中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒．

(1)当时，t的值为______．
(2)当时，求t的值．
(3)在点P和点Q的运动过程中是否存在，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）．

7 . 如图，矩形ABCD中，BC=2AB，点E是边AD的中点，点F是线段AE上一点（点F不与点A，E重合），连接BF，过点F作直线BF的垂线，与线段CE交于点G，连接BG，点H是线段BG的中点．

(1)若CE=2，求矩形ABCD的面积；
(2)求证：BF=EH.

8 . 如图，AC∥BD，连接，交于点O，若O为中点．

(1)求证：；
(2)连接，若，，若的长是偶数，则长为_______．

9 . 问题情境：如图1，在Rt△ABC和Rt△BEF中，∠ACB＝∠EFB＝90°，AC＝3，BC＝4，且M，N分别为AE，CF的中点．

(1)猜想证明：如图2，将Rt△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt△BEF沿BF所在直线折叠得到Rt，连接，CF，并分别取它们的中点P，H，连接CP，FP，PH．
①试判断CP与FP之间的数量关系，并说明理由．
②若AB＝2，BC＝2BF，请直接写出PH的长．

10 . 如图，两条互相垂直的直线m、n交于点O，一块等腰直角三角尺的直角顶点A在直线m上，锐角顶点B在直线n上，D是斜边BC的中点．已知OD＝，BC＝4，则S_△AOB＝______．