1 . 在我们苏科版七下第九章的学习中,对同一个图形的面积可以从不同的角度思考,用不同的式子表示.
(1)用不同的方法计算图1的面积可得到一个等式:__________.
(2)图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”,它是由四个能完全重合的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,最长的斜边为c.
① 探究、、之间的数量关系(按给出的格式完成探究).
_____,(整体角度填写)
_____________(局部组合角度填写)
_____________,(化简结果)
____________________________.
② 根据①中的探究,请用文字语言总结出直角三角形的三边具有的性质.
③ 在直角中,,边长a、b、c满足,,求的面积.
(1)用不同的方法计算图1的面积可得到一个等式:__________.
(2)图2是我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”,它是由四个能完全重合的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,最长的斜边为c.
① 探究、、之间的数量关系(按给出的格式完成探究).
_____,(整体角度填写)
_____________(局部组合角度填写)
_____________,(化简结果)
____________________________.
② 根据①中的探究,请用文字语言总结出直角三角形的三边具有的性质.
③ 在直角中,,边长a、b、c满足,,求的面积.
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2 . 背景介绍:勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明精彩粉呈,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a,b,c.显然,,,请用a,b,c分别表示出梯形、四边形、的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
(1)________,__________,___________,则它们满足的关系式为____________,经化简,可得到勾股定理.(提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半)
知识运用:
(2)如图2,铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C,D为两个村庄(看作两个点),,,垂足分别为A、B,千米,千米,则两个村庄的距离为_________千米(直接填空);
(3)在(2)的背景下,若千米,千米,千米,要在上建造一个供应站P,使得,请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离.
(4)知识迁移:借助上面的思考过程与几何模型,求代数式+的最小值__________(0<x<16).
小试牛刀:把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为a,b,c.显然,,,请用a,b,c分别表示出梯形、四边形、的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
(1)________,__________,___________,则它们满足的关系式为____________,经化简,可得到勾股定理.(提示:对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半)
知识运用:
(2)如图2,铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C,D为两个村庄(看作两个点),,,垂足分别为A、B,千米,千米,则两个村庄的距离为_________千米(直接填空);
(3)在(2)的背景下,若千米,千米,千米,要在上建造一个供应站P,使得,请用尺规作图在图3中作出P点的位置并求出的距离.
(4)知识迁移:借助上面的思考过程与几何模型,求代数式+的最小值__________(0<x<16).
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2022-11-20更新
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138次组卷
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2卷引用:广东省深圳市龙岗区同心实验学校2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题
3 . 现有4个全等的直角三角形(阴影部分),直角边长分别为a、b,斜边长为c,将它们拼合为如图的形状.(1)添加如图辅助线,根据该图,可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积,通过面积相等,从而证明勾股定理,请你将下面的证明过程补充完整:整个组合图形面积表示,方法一:以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为 ;方法二:以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为 ;根据面积相等,直接得等式 ,化简最后结果是 ,从而证明勾股定理.
(2)当,时,求空白部分的面积.
(2)当,时,求空白部分的面积.
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4 . 现有个全等的直角三角形(阴影部分),直角边长分别为,斜边长为,将它们拼合为如图的形状.(1)添加如图辅助线,根据该图,可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积,通过面积相等,从而证明勾股定理,请你将下面的证明过程补充完整:
整个组合图形面积表示,方法一:以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;方法二:以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;根据面积相等,直接得等式______,化简最后结果是______,从而证明勾股定理.
(2)当,时,求空白部分的面积.
整个组合图形面积表示,方法一:以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;方法二:以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;根据面积相等,直接得等式______,化简最后结果是______,从而证明勾股定理.
(2)当,时,求空白部分的面积.
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5 . 在直角三角形中,三边存在特殊的关系:两直角边的平方和等于斜边的平方,如图1,因为,所以.这种特殊的关系被称为勾股定理.勾股定理的证明方法非常丰富,达数百种之多,其中比较出名的,有东汉数学家赵爽的“勾股圆方图”(见《周髀算经》)和政几里得的证法(见《欧几何原本》).
(1)赵爽的证明方法:如图2,四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形,中间空白的部分是小正方形,设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边为c,则小正方形的边长为;在此基础上,大正方形的面积可以直接表示为_________,还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和,为__________________.于是得到等式__________________;化简后可得.
(2)欧几里得的证明方法:
①如图3,设的两条直角边分别为a和b,斜边为c,分别以这三条边为边,向外做三个正方形,得到正方形ADEB,正方形ACFG和正方形BHKC,连接EC与AH,做交HK于N,交BC于M,首先请证明
②
正方形ADEB与同底等高,长方形BHNM与同底等高,
=______________,
__________________,
同理可得
所以:
即.
(1)赵爽的证明方法:如图2,四个全等的直角三角形拼成了一个大正方形,中间空白的部分是小正方形,设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边为c,则小正方形的边长为;在此基础上,大正方形的面积可以直接表示为_________,还可以表示为四个直角三角形与小正方形的面积之和,为__________________.于是得到等式__________________;化简后可得.
(2)欧几里得的证明方法:
①如图3,设的两条直角边分别为a和b,斜边为c,分别以这三条边为边,向外做三个正方形,得到正方形ADEB,正方形ACFG和正方形BHKC,连接EC与AH,做交HK于N,交BC于M,首先请证明
②
正方形ADEB与同底等高,长方形BHNM与同底等高,
=______________,
__________________,
同理可得
所以:
即.
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6 . 数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法,面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式,俗称“无字证明”,我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”(也称“赵爽弦图”)证明了勾股定理.2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽(如图1),彰显了这一中国古代的重大成就.
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下:
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形(如图2,其中构成直角的两条边叫直角边,边长分别为和,且;最长的那条边叫做斜边,边长为)围成一个边长为的大正方形(如图3),中间空的部分是一个边长为的小正方形.
(1)验证过程:大正方形的面积可以表示为,又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为,∴.
化简等号右边的式子可得∴_______.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图4),模仿上述过程也能验证这个结论,请你帮助小新完成验证的过程.
运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下:
“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形(如图2,其中构成直角的两条边叫直角边,边长分别为和,且;最长的那条边叫做斜边,边长为)围成一个边长为的大正方形(如图3),中间空的部分是一个边长为的小正方形.
(1)验证过程:大正方形的面积可以表示为,又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为,∴.
化简等号右边的式子可得∴_______.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图4),模仿上述过程也能验证这个结论,请你帮助小新完成验证的过程.
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7 . 请阅读下列材料:
提出问题:现有2个边长是1的小正方形,请你把它们分割后,(图形不得重叠,不得遗漏),组成一个大的正方形,解决这个问题的方法不唯一,但有一个解题的思路是:设新正方形的边长为.依题意,割补前后图形的面积相等,有,解得,由此可知新正方形的边长等于原来正方形的对角线的长.
(1)解决问题:现有5个边长为1的正方形,排列形式如图3,请把它们分割后拼接成一个新的正方形,要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是:设新正方形的边长为().依题意,割补前后图形的面积相等,有 ,解得= .由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长.请你在图3中画出分割线,在图4中拼出新的正方形.
(2)模仿演练:
现有10个边长为1的正方形,排列形式如图5,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图5中画出分割线,并在图6中的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.说明:直接画出图形,不要求写分析过程.
(3)应用创新:
图7是一个大的矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图7中画出分割线,在图8中要求画出三块图形组装成大正方形的示意图).
提出问题:现有2个边长是1的小正方形,请你把它们分割后,(图形不得重叠,不得遗漏),组成一个大的正方形,解决这个问题的方法不唯一,但有一个解题的思路是:设新正方形的边长为.依题意,割补前后图形的面积相等,有,解得,由此可知新正方形的边长等于原来正方形的对角线的长.
(1)解决问题:现有5个边长为1的正方形,排列形式如图3,请把它们分割后拼接成一个新的正方形,要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.
小东同学的做法是:设新正方形的边长为().依题意,割补前后图形的面积相等,有 ,解得= .由此可知新正方形的边长等于两个正方形组成的矩形对角线的长.请你在图3中画出分割线,在图4中拼出新的正方形.
(2)模仿演练:
现有10个边长为1的正方形,排列形式如图5,请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求:在图5中画出分割线,并在图6中的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.说明:直接画出图形,不要求写分析过程.
(3)应用创新:
图7是一个大的矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图,请你将它剪成三块后再拼成正方形(在图7中画出分割线,在图8中要求画出三块图形组装成大正方形的示意图).
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8 . 阅读下列材料,并完成相应任务.
(1)任务一:请你根据上述材料中的思路验证勾股定理;
(2)任务二:请你用“双求法”解决下列问题:
如图2,中,是边上的高,若,求的长.
勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,是我国古代数学的骄傲,它神秘而美妙,证法多样,勾股定理的验证过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有的式子表示同一个图形的面积”,由于同一个图形的面积相等,从而得到含,的恒等式,通过化简即可完成勾股定理的验证.数学上把这种方法称之为“双求法”. 下面是利用“双求法”验证勾股定理的一种思路: 如图,将两个全等的直角三角形与如图摆放,其中.连接,过点作延长线的垂线,垂足为.容易得出:,用含的式子表示出上面四个三角形的面积,就能完成勾股定理的验证. |
(1)任务一:请你根据上述材料中的思路验证勾股定理;
(2)任务二:请你用“双求法”解决下列问题:
如图2,中,是边上的高,若,求的长.
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9 . 【背景介绍】
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在1994年构造发现了一个新的证法.如图.【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为,,.显然,,.请用,,分别表示出梯形,四边形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:__________,__________,__________,则它们满足的关系式为__________,经化简,可得到勾股定理.
【知识运用】
如图2,河道上,两点(看作直线上的两点)相距160米,,为两个菜园(看作两个点),,,垂足分别为,,米,米,现在菜农要在上确定一个抽水点,使得抽水点到两个菜园,的距离和最短,则该最短距离为__________米.
【知识迁移】
借助上面的思考过程,画图说明并求代数式的最小值.
勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力,千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者,向常春在1994年构造发现了一个新的证法.如图.【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形如图1放置,其三边长分别为,,.显然,,.请用,,分别表示出梯形,四边形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:__________,__________,__________,则它们满足的关系式为__________,经化简,可得到勾股定理.
【知识运用】
如图2,河道上,两点(看作直线上的两点)相距160米,,为两个菜园(看作两个点),,,垂足分别为,,米,米,现在菜农要在上确定一个抽水点,使得抽水点到两个菜园,的距离和最短,则该最短距离为__________米.
【知识迁移】
借助上面的思考过程,画图说明并求代数式的最小值.
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2023-09-11更新
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536次组卷
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5卷引用:广东省江门市台山市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
广东省江门市台山市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题广东省佛山市南海区瀚文外国语学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题(已下线)专题16.2 期末押题卷-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列(华东师大版)山东省滨州市无棣县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题(已下线)专题02 勾股定理与全等三角形综合专项训练-备战2023-2024学年八年级数学下学期期末真题分类汇编(广东专用)
10 . 数形结合是我们解决问题常用到的思想方法.
(1)观察发现:如图1,将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙),拼成一个宽为15的长方形,求正方形纸片A、B的边长.
(2)推理猜想:教材中我们可以运用拼图,用两种不同的求面积方法,导出一些结论,下面用两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图2,试用不同的方法计算图2的面积,S=__________________,或者S= ____________________,经化简后,请写出边长为a、b、c的直角三角形三边的关系: ___________________________________.
(3)灵活应用:图3中,以边长a、b 、c的直角三角形三边向外作正方形,若,,则以b为边长作的正方形面积=_______________.
(1)观察发现:如图1,将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙),拼成一个宽为15的长方形,求正方形纸片A、B的边长.
(2)推理猜想:教材中我们可以运用拼图,用两种不同的求面积方法,导出一些结论,下面用两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图2,试用不同的方法计算图2的面积,S=__________________,或者S= ____________________,经化简后,请写出边长为a、b、c的直角三角形三边的关系: ___________________________________.
(3)灵活应用:图3中,以边长a、b 、c的直角三角形三边向外作正方形,若,,则以b为边长作的正方形面积=_______________.
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2023-07-17更新
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87次组卷
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2卷引用:江苏省淮安市盱眙县2022-2023学年七年级下学期期末数学试题