1 . 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形!
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且c＞b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；
（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆 中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．
①求证：△ACE是奇异三角形：
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

2 . 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1）后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
（1）①请叙述勾股定理；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）
                
（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有_______个；
   
②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明；
   
（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：（结果可用含的式子表示）
①_______；
②与的关系为_______，与的关系为_______．
          

3 . 如图，梯子跟地面的夹角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是(　　)

A．的值越小，梯子越陡

B．的值越小，梯子越陡

C．的值越小，梯子越陡

D．陡缓程度与的函数值无关

4 . 规定：，．据此
(1)判断下列等式成立的是           （填序号）．

；；．
(2)利用上面的规定求；．

6 . 如图，在中，，，为边的中点，线段的垂直平分线分别与边，交于点，，连接，．设，．给出以下结论：①；②的面积为；③的周长为；④；⑤．其中正确结论有_______(把你认为正确结论的序号都填上)．

7 . 有一张矩形纸片ABCD，，．
如图1，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为点M，N分别在边AD，BC上，利用直尺和圆规画出折痕不写作法，保留作图痕迹；
如图2，点K在这张矩形纸片的边AD上，，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点，处，小明认为所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．