1 . 集合，其中为正整数.对中的任意元素和，定义
(1)当时，求和的值.
(2)当时，的子集满足：对中任意元素和不能被整除，且当时，能被整除.求集合中元素个数的最大值.
(3)给定的子集满足：对中任意元素和，当不等于时，.求集合中元素个数的最大值.

2 . 已知函数，定义
(1)写出函数的解析式；
(2)若，求实数的值；
(3)已知函数，集合，集合，，若函数是偶函数，写出所有满足条件的的解析式.

3 . 设整数，集合，定义.
(1)当时，写出，.
(2)若，，求的值.
(3)若，求的元素个数的最小值.

4 . 已知集合，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”．
(1)分别判断数集与是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有；
(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．

5 . 定义两个非空数集的“和集”为，对有限集合，记．
(1)已知，，求出与；
(2)任取非空有限数集，证明：；
(3)的非空子集满足：，都有，求．

6 . 对于集合A，称定义域与值域均为A的函数为集合 A上的等域函数．①若，则A上的等域函数有_______个；②若，使为A上的等域函数，a的取值范围是_______．

7 . 对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”．
(1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；
(2)，证明：不能“任意双拆”；
(3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值．

8 . 已知集合，，若中元素的个数为，且存在，，使得，则称是的子集.
(1)若，写出的所有子集；
(2)若为的子集，且对任意的，，存在，使得，求的值；
(3)若，且的任意一个元素个数为的子集都是的子集，求的最小值.

9 . 设集合，若集合S中的元素同时满足以下条件：
①，恰好都含有3个元素；
②，，为单元素集合；
③
则称集合S为“优选集”．
(1)判断集合，是否为“优选集”；
(2)证明：若集合S为“优选集”，则，至多属于S中的三个集合；
(3)若集合S为“优选集”，求集合S的元素个数的最大值．

10 . 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分．
(1)写出集合的所有不同的2划分；
(2)设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由；
①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；
②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；
③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；
④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．
(3)设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得．