1 . 对于正整数，定义．对于任意的，称为的第个分量，称是的一个“协同子集”．如果同时满足：①的元素个数不少于；②对于任何、、，存在，使得、、的第个分量都是．
(1)对于，若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”，且其中两个元素是和，直接写出另外两个元素；
(2)证明：若是的一个“协同子集”，则的元素个数不超过；
(3)证明：若是的一个“协同子集”，且的元素个数恰好是，则存在唯一的，使得中所有元素的第个分量都是．

2 . 已知集合为非空数集，定义.
(1)若集合，请证明，并直接写出集合；
(2)若且，集合，求的最小值；
(3)若集合，且，求证：.

3 . 已知有限集，若A中元素满足，则称集合A为“复活集”．
(1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由：
(2)若均为正数，且为“复活集”，求的取值范围，
(3)若时，求“复活集”A．

4 . 已知集合为非空数集，定义：，（实数a，b可以相同）
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值．

5 . 集合A为非空数集，定义：，．
(1)若集合，直接写出集合S、T；
(2)若集合，，且，求证：；
(3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值．

6 . 已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素，都有，则称具有性质.
(1)当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；
(2)若时，
①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；
②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

7 . 已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质：
（1）；（2）；（3）；
给出下列命题：①；
②若，则；
③若，且，则；
④若、、，且，，则．
其中所有正确命题的序号是______．

9 . 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质．
(1)当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
(2)当时，若集合具有性质，
①判断集合是否一定具有性质？并说明理由；
②求集合中元素个数的最大值．