1 . 对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合.
(1)若，求集合和；
(2)已知为有限集，若，证明：.
(3)若，求的值.

2 . 若，，定义，
则

A．

B．

C．

D．

3 . 已知函数，其中，是非空数集且.设，.
（1）若，，求；
（2）是否存在实数，使得，且？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由；
（3）若且，，单调递增，求集合，.

4 . 设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题：
①若具有性质，则可以是有限集；
②若具有性质，且，则具有性质；
③若、具有性质，且，则具有性质；
④若、具有性质，则具有性质.
其中所有真命题的序号是______.

5 . 设集合，，，，，中至少有两个元素，且，满足：
（1）对于任意，，若，则；
（2）对于任意，，若，则
下列命题正确的是__________填序号
若有个元素，则有个元素；
若有个元素，则有个元素；
若有个元素，则有个元素；
若有个元素，则有个元素.

6 . 设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；
(1)判断下列两组集合是否满足要求：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则；
(2)证明：若有个元素，则有个元素.

7 . 已知非空集合，如果存在(且)，使得，则称集合具有性质.
（1）分别判断下列集合是否具有性质并说明理由；
①；
②.
（2）设m是正整数且，集合，求证：A具有性质；
（3）求最小的正整数n，使得对于任意满足且的两个集合和，其中至少有一个集合具有性质.

8 . 已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”．
（1）若的“衍生质数”为2，则__ ；
（2）设集合，，则集合中元素的个数是_____ ．

9 . 设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”:
①；
②；
③，且中的最小元素大于中的最小元素；
④，必有.
(1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由.
(2)已知是“无和划分”（）.
①证明:对于任意，都有；
②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于.