1 . 对于集合，定义函数．对于两个集合，定义集合．已知集合．
(1)求与的值；
(2)用列举法写出集合；
(3)用表示有限集合所包含元素的个数．已知集合是正整数集的子集，求的最小值，并说明理由.

2 . 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．

5 . 已知自然数集，非空集合.若集合E满足：对任意，存在，使得，称集合E为集合A的一组m元基底.
(1)分别判断下列集合E是否为集合A的一组二元基底，并说明理由：
①；
②.
(2)若集合E是集合A的一组m元基底，证明：；
(3)若集合E为集合的一组m元基底，求m的最小值.

6 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．
(1)判断集合是否是“平衡集”并说明理由；
(2)求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
(3)证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．

7 . 给定数集M，若对于任意，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是（       ）

A．集合为闭集合

B．正整数集是闭集合

C．集合为闭集合

D．若集合，为闭集合，则为闭集合

8 . 已知，，，记，用表示有限集合X的元素个数.
(1)若，，分别讨论和时，集合T的情况；
(2)若，，求的最大值；
(3)若，，则对于任意的A，是否都存在T，使得？说明理由.

9 . 已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集．
(1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由；
①；       
②．
(2)若是的3元完美子集，求的最小值．