1 . 平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝________ .我们把
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
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2 . 向量的线性运算
运 算 | 定义 | 法则 （或几何意义） | 运算律（性质） |
加 法 | 求两个向量和的运算 |
三角形法则
平行四边形法则 | 交换律： |
减 法 | 求两个向量差的运算 |
|
|
数 乘 | 求实数λ与向量 |
其方向：λ>0时，与 | 设λ，μ∈R，则 λ（μ （λ＋μ） λ（ |
，并规定：
；结合律：
；
，当且仅当
方向相同时等号成立
是一个向量，其长度：
|＝
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3 . 向量的有关概念
名称 | 定义 | 说明 |
向量 | 在数学中，我们把既有 | 平面向量是自由向量 |
有向 线段 | 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 | 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 |
向量 的模 | 向量 的大小称为向量的长度（或称模），记作|| | 向量的模是数量 |
零向量 | 长度为 | |
单位向量 | 长度等于 | a是非零向量，则± 是单位向量 |
平行向 量（共线 向量） | 方向 | 规定：零向量与任意向量平行 |
相等 向量 | 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 | 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 |
相反 向量 | 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a | 0的相反向量仍是0 |
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解题方法
4 . 已知向量，
的数量积（又称向量的点积或内积）
，其中
表示向量，的夹角，定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）；
，其中表示向量，的夹角，已知点
，
，
为坐标原点，则
____________ ．
，的数量积（又称向量的点积或内积），其中表示向量，的夹角，定义向量，的向量积（又称向量的叉积或外积）；，其中表示向量，的夹角，已知点，，为坐标原点，则
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2022-11-25更新
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384次组卷
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3卷引用：高考新题型-平面向量及其应用
名校
5 . 已知
，化简
______________ .
，化简
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2023高三·全国·专题练习
6 . 下列五个命题：
①向量
与
共线，则
必在同一条直线上；
②如果向量
与
平行，则与方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是
；
④若
，则、的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有______ 个.
①向量
与共线，则必在同一条直线上；②如果向量
与平行，则与方向相同或相反；③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是
；④若
，则、的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行.
其中正确的命题有
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7 . 已知
，若关于
的方程
恰有三个不同的解，则满足上述条件的
的值可以为_____________ .（写出一个即可）
，若关于的方程恰有三个不同的解，则满足上述条件的的值可以为
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解题方法
8 . 如图所示，设角
的始边在x轴正半轴上，终边在第二象限，支M为其终边上一点，则由图中有关数据可知，其余弦值
______ .
的始边在x轴正半轴上，终边在第二象限，支M为其终边上一点，则由图中有关数据可知，其余弦值
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2022-10-22更新
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337次组卷
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3卷引用：1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件+练习）
名校
解题方法
9 . 写出一条直线的方程，使得曲线
与曲线
都关于该直线对称：____________ ．
与曲线都关于该直线对称：
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10 . A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标_____ （当A＞1时）或_____ （当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点_____ （当φ＞0时）或_____ （当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标_____ （当ω＞1时）或_____ （当0＜ω＜1时）到原来的_____ 倍（纵坐标不变）即可得到．
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A．φ、ω的作用
参数 | 作用 |
A | A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. |
φ | φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. |
ω | ω决定了函数的周期T＝ |
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标
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