1 . 若数列满足，且对任意都有，则的最小值为________.

2 . 已知数列的前项和为，且满足:
(1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式.
(2)设，若数列是等差数列，求实数的值；
(3)在(2)的条件下，设 记数列的前项和为，若对任意的存在实数,使得,求实数的最大值.

3 . 设是首项为，公差为d的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．
（1）设，若对均成立，求d的取值范围；
（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．

4 . 已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．

5 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知.求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

6 . 已知数列，满足：．
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，且．
① 记，求证：数列为等差数列；
② 若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．