1 . 如果一个严格单调递增数列的每一项都是正整数，且对任意正整数，恒成立，则称数列为“奇特数列”．
(1)设等差数列的首项，公差为．若，求证：为“奇特数列”；
(2)已知数列，其中为“奇特数列”，为大于的最小的的正整数倍，．
①求证：为“奇特数列”；
②求证：当时，．

3 . 若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”.
(1)若数列为“稳定数列”，求的取值范围；
(2)若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；
(3)若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，.

4 . 已知数列的前三项均为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设数列的各项均为正整数，且．
（ⅰ）若，，证明：为等差数列；
（ⅱ）若，为递增等差数列，求的最小值．

5 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.
(1)当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；
(2)当时，求数列的通项公式；
(3)是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.

6 . 若数列满足：①；②对任意，与至少有一个是数列中的项，则称数列为友好数列．
(1)若数列既是等差数列又是友好数列，求证：；
(2)数列满足对任意，，且，数列，，为友好数列，求的值；
(3)若友好数列至少有5项，，且，求的前项和．