名校
1 . 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
经计算得,,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.
(1)求的相关系数,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)请利用已经学过的方差公式:来证明方差第二公式.
(iii)在之外的数据称为离群值,试剔除离群值,并利用(ii)中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本的相关系数,.
抽取次序 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
零件尺寸 | 9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
抽取次序 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
零件尺寸 | 10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
(1)求的相关系数,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?
(ii)请利用已经学过的方差公式:来证明方差第二公式.
(iii)在之外的数据称为离群值,试剔除离群值,并利用(ii)中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)
附:样本的相关系数,.
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2024-08-04更新
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161次组卷
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2卷引用:福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
名校
解题方法
2 . 习近平总书记在十九大报告中指出,必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念,某城市选用某种植物进行绿化,设其中一株幼苗从观察之日起,第天的高度为,测得一些数据图如下表所示:
(1)由表中数据可看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以证明;
(2)求关于的回归直线方程,并预测第7天这株幼苗的高度.
参考数据:.
参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
第天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
高度 | 1.3 | 1.7 | 2.2 | 2.8 | 3.5 |
(2)求关于的回归直线方程,并预测第7天这株幼苗的高度.
参考数据:.
参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
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2024-07-19更新
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163次组卷
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2卷引用:福建省泉州市部分中学2023-2024学年高二下学期7月期末联合检测数学试题
3 . 在一次对外星文明的探索中,科学家发现了一种外星生物,它们具有一种特殊的繁殖方式.科学家记录了这种外星生物在连续8天内的繁殖数量,发现繁殖数量与天数之间存在线性关系.
(1)根据记录的数据,得到以下表格:
请利用最小二乘法求出线性回归方程;
(2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析,以研究其基因多样性,发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究,记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为,求的分布列与数学期望.
(参考公式与数据:,,,,)
(1)根据记录的数据,得到以下表格:
天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
繁殖数量 | 13 | 15 | 18 | 19 | 20 | 20 | 22 | 25 |
(2)科学家从这种外星生物中随机抽取了10个样本进行基因分析,以研究其基因多样性,发现这10个样本中有3个样本具有某种特殊基因.现从这10个样本中随机抽取2个样本进行深入研究,记随机抽取的2个样本中具有某种特殊基因的样本数量为,求的分布列与数学期望.
(参考公式与数据:,,,,)
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4 . 注重劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容,直接决定社会主义建设者和接班人的劳动精神面貌、劳动价值取向和劳动技能水平.某市开辟特色劳动教育基地,指导学生种植豆角,某同学针对“豆角亩产量的增加量y(百千克)与某种液体肥料每亩使用量x(千克)之间的关系”进行研究,得出了y与x具有线性相关关系的结论.现从劳动基地的豆角试验田中随机抽取亩,其亩产增加量与该肥料每亩使用量关系如下表:
(1)求豆角亩产量的增加量y对该液体肥料每亩使用量x的线性回归方程.预测该液体肥料每亩使用量为12千克时,豆角亩产量的增加量为多少百千克?
(2)若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”,现从抽取的5亩试验田中随机选出亩,记其中优质试验田的数量为,求的分布列和数学期望.
参考公式:,.参考数据:,.
某种液体肥料每亩使用量x(千克) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
豆角亩产量的增加量y(百千克) | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 |
(2)若豆角亩产量的增加量不低于5百千克的试验田称为“优质试验田”,现从抽取的5亩试验田中随机选出亩,记其中优质试验田的数量为,求的分布列和数学期望.
参考公式:,.参考数据:,.
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解题方法
5 . 随着电商事业的快速发展,网络购物交易额也快速提升,某网上交易平台工作人员对2019年至2023年每年的交易额(取近似值)进行统计分析,结果如下表:
(1)据上表数据,计算y与t的相关系数r,并说明y与t的线性相关性的强弱;(已知:,则认为y与t线性相关性很强;,则认为y与t线性相关性一般;,则认为y与t线性相关性较弱.)
(2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程,并预测2024年该平台的交易额.
参考数据:,,
参考公式:相关系数
线性回归方程中,斜率和纵截距的最小二乘估计分别为,.
年份 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 | 2023 |
年份代码(t) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
交易额y(单位:百亿) | 1.5 | 2 | 3.5 | 8 | 15 |
(2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程,并预测2024年该平台的交易额.
参考数据:,,
参考公式:相关系数
线性回归方程中,斜率和纵截距的最小二乘估计分别为,.
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名校
解题方法
6 . 某小微企业对其产品研发的年投入金额(单位:万元)与其年销售量(单位:万件)的数据进行统计,整理后得到如下的数据统计表:
(1)公司拟分别用①和②两种模型作为年销售量关于年投入金额的回归分析模型,根据上表数据,分别求出两种模型的经验回归方程;
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:,,.
1 | 5 | 7 | 8 | 9 | |
2 | 3 | 6 | 8 | 11 | |
0.7 | 1.1 | 1.8 | 2.1 | 2.4 |
(2)统计学中常通过残差的平方和比较两个模型的拟合效果,若模型①和②的残差的平方和分别为9.9和4.2,请在①和②中选择拟合效果更好的模型,并估计当年投入金额为10万元时的年销售量.
参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.
参考数据:,,.
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2024-06-22更新
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518次组卷
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4卷引用:福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题
福建省福州市福建师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题山东省滨州市阳信县第二高级中学2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试题(已下线)专题6 回归分析与独立性检验复杂问题【讲】(高二期末压轴专项)山东省烟台市2023-2024学年高二下学期期中学业水平诊断数学试卷
名校
7 . 下表是某单位在2023年1~5月份用水量(单位:百吨)的一组数据:
(1)从这5个月中任取2个月的用水量,求所取2个月的用水量之和不超过7(单位:百吨)的概率;
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠”,那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由.
参考公式:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
用水量y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 5.2 |
(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠”,那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由.
参考公式:对于一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,.
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2023-08-01更新
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299次组卷
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2卷引用:福建省厦门第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
8 . 近几年,电商的蓬勃发展带动了快递行业的迅速增长.为了获得更大的利润,某快递公司在城市的网点对“一天中收发一件快递的平均成本(单位:元)与当天揽收的快递件数(单位:千件)之间的关系”进行调查研究,得到相关数据如下表:
根据以上数据,技术人员分别根据甲、乙两种不同的回归模型,得到两个经验回归方程:方程甲:,方程乙:.
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下问题:
①根据上表数据和相应回归方程,将以下表格填写完整(结果保留一位小数):
( 备注:称为相应于点的随机误差)
②分别计算模型甲与模型乙的随机误差平方和,并依此判断哪个模型的拟合效果更好.
(2)已知该快递网点每天能揽收的快递件数(单位:千件)与揽收一件快递的平均价格(单位:元)之间的关系是,根据(1)中拟合效果较好的模型建立的回归方程解决以下问题:
①若一天揽收快递6千件,则当天总利润的预报值是多少?
②为使每天获得的总利润最高,该快递网点应该将揽收一件快递的平均价格定为多少?(备注:利润=价格-成本)
每天揽收快递件数(千件) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每件快递的平均成本(元) | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 |
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下问题:
①根据上表数据和相应回归方程,将以下表格填写完整(结果保留一位小数):
每天揽收快递件数xi/千件 | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每件快递的平均成本yi/元 | 5.6 | 4.8 | 4.4 | 4.3 | 4.1 | |
模型甲 | 预报值 | 5.2 | 5 | 4.8 | ||
随机误差 | -0.4 | 0.2 | 0.4 | |||
模型乙 | 预报值 | 5.5 | 4.8 | 4.5 | ||
随机误差 | -0.1 | 0 | 0.1 |
②分别计算模型甲与模型乙的随机误差平方和,并依此判断哪个模型的拟合效果更好.
(2)已知该快递网点每天能揽收的快递件数(单位:千件)与揽收一件快递的平均价格(单位:元)之间的关系是,根据(1)中拟合效果较好的模型建立的回归方程解决以下问题:
①若一天揽收快递6千件,则当天总利润的预报值是多少?
②为使每天获得的总利润最高,该快递网点应该将揽收一件快递的平均价格定为多少?(备注:利润=价格-成本)
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2023-07-27更新
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285次组卷
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5卷引用:福建省三明市2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题
福建省三明市2022-2023学年高二下学期7月期末数学试题(已下线)第三节 成对数据的统计分析(第一课时) B卷素养养成卷 一轮复习点点通【人教A版(2019)】专题15概率与统计(第五部分)-高二下学期名校期末好题汇编(已下线)专题04 成对数据的统计分析-2(已下线)重组10 高二期末真题重组卷(福建卷)A基础卷
解题方法
9 . 三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响,某房地产开发公司为了回笼资金,提升销售业绩,公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动.负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次,表格中x表示活动推出的天数,y表示每天来访的人次,根据表格绘制了以下散点图.
表中,.(1)(i)请根据散点图判断,以下两个函数模型与(a,b,c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(ii)根据(i)的判断结果以及表中的数据,求y关于x的回归方程.
(2)此楼盘共有N套房,其中200套特价房,活动期间共卖出300套房,其中50套特价房,试给出N的估计值(以使得最大的N的值作为N的估计值,X表示卖出的300套房中特价房的数目).
附:对于样本(,2,…,n),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.
x(天) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y(人次) | 12 | 22 | 42 | 68 | 132 | 202 | 392 |
4.24 | 870 | 5070 | 134.82 | 140 | 6.96 | 1.78 |
(ii)根据(i)的判断结果以及表中的数据,求y关于x的回归方程.
(2)此楼盘共有N套房,其中200套特价房,活动期间共卖出300套房,其中50套特价房,试给出N的估计值(以使得最大的N的值作为N的估计值,X表示卖出的300套房中特价房的数目).
附:对于样本(,2,…,n),其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:.
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2023-07-25更新
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614次组卷
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7卷引用:福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题
福建省龙岩市2022-2023学年高二下学期期末教学质量检查数学试题(已下线)模块二 专题4 成对数据的统计分析 B提升卷(人教A)(已下线)9.1 线性回归分析(2)(已下线)高二下学期期末复习解答题压轴题二十二大题型专练(6)(已下线)高二期末模拟卷02【人教A版(2019)】专题15概率与统计(第五部分)-高二下学期名校期末好题汇编(已下线)专题04 成对数据的统计分析-2
名校
10 . 在隧道施工过程中,若隧道拱顶下沉速率过快,无法保证工程施工的安全性,则需及时调整支护参数.某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控,通过对监控结果进行回归分析,建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z(单位:毫米)与时间t(单位:天)的回归方程,通过回归方程预测是否需要调整支护参数.已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示:
研究人员制作相应散点图,通过观察,拟用函数进行拟合.令,计算得:,.
(1)试建立z与t的回归方程,并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量;(精确到0.1)
(2)已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时,支护系统将超负荷,隧道有塌方风险,施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数?(精确到整数)
附:①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:;
②参考数据:.
t(单位:天) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
z(单位:毫米) | 0.01 | 0.04 | 0.14 | 0.52 | 1.38 | 2.31 | 4.30 |
(1)试建立z与t的回归方程,并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量;(精确到0.1)
(2)已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时,支护系统将超负荷,隧道有塌方风险,施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数?(精确到整数)
附:①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:;
②参考数据:.
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2023-07-21更新
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477次组卷
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3卷引用:福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第四学段模块考试(期末)数学试题
福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期第四学段模块考试(期末)数学试题黑龙江省龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(已下线)8.2 一元线性回归模型及其应用(6大题型)精练-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)