1 . 如图，中，分别在射线上滑动，开始时，点与点重合.当点向点运动时，点沿着方向运动（保持形状不变），点从起始位置运动到点的过程中，点的运动轨迹的长度是__________.

2 . 如图，是横坐标为2的定点，点在直线上运动，，，当点从原点运动到横坐标为2的点时，点的运动距离为______．
   

3 . 初一（2）班的郭同学参加了折纸社团，某次社团课上，指导教师老胡展示了如图2所示的图案，其由三块全等的矩形经过如图1所示的方式折叠后拼接而成．已知矩形的周长为，其中较长边为，将沿向折叠，折过去后交于点E．

(1)用x表示图1中的面积；
(2)郭爸爸看到孩子的折纸成果后，非常高兴，决定做一颗相同形状和大小的纽扣作为奖励其中纽扣的六个直角（如图2阴影部分）利用镀金工艺双面上色（厚度忽略不计）．已知镀金工艺是2元/，试求一颗纽扣的镀金部分所需的最大费用．

4 . 作出函数的图象，并根据图象回答下列问题.
(1)变量的取值范围；
(2)当时，函数值的取值范围.

5 . 如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、点不与点、重合．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．

6 . 是等边三角形，点在的延长线上，以为中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．

(1)如图，若，画出当时的图形，并写出此时的值；
(2) 为线段的中点，连接写出一个的值，使得对于延长线上任意一点，总有，并说明理由．

7 . 如图，矩形中，点，分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点，恰好落在上的同一点，记为点若，，则______．

8 . 如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为______．

9 . （1）基本问题：

①在正方形ABCD中，E是BC边上一点.如图①，将绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到.由此可得，与线段BE相等的线段是DF，与相等的角是；
②类比①的方法解决问题：如图②，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，F是CD边上一点，且，则线段BE、DF、EF之间的数量关系是______.（直接写出结论，不需证明）
（2）拓展运用：
如图③，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是BC边上一点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，EQ.设.
①当时，求线段CF的长；
②在中，设边QE上的高为h，求h关于m的函数表达式及h的最大值.

10 . 在数学学习过程中，我们总是从一些最简单的图形出发，研究其中的边角关系，然后再应用所得到的结论去解决其他较复杂的问题．

(1)【基本图形】如图（1），在中，，，则     ．（用含，的式子表示）
(2)【解决问题】在中，， ，．
①如图（2），是边上一动点，点关于，的对称点分别是，，连接，，，，请写出与的数量关系，并说明理由；
②如图（3），若，，分别是边，，上的动点，则的周长的最小值为     ．
(3)【应用拓展】如图（4），，分别是边长为的正方形的边，上的动点，且，，，分别是△的边，，上的动点，请直接写出的周长的最小值．