1 . 对集合，定义其特征函数，考虑集合和正实数，定义为和式函数.设，则为闭区间列；如果集合对任意，有，则称是无交集合列，设集合.
(1)证明：L和式函数的值域为有限集合；
(2)设为闭区间列，是定义在上的函数.已知存在唯一的正整数，各项不同的非零实数，和无交集合列使得，并且，称为和式函数的典范形式.设为的典范数.
（i）设，证明：；
（ii）给定正整数，任取正实数和闭区间列，判断的典范数最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.

2 . 对任意满足的非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件.

3 . 给定素数，定义集合．对于，，定义如下：当时；当时．对于的一个子集，定义．若集合满足且对任意有则称集合为好集合．求最大正整数，使得可以找到个互不相同的好集合，，，，满足．

4 . 将正整数集合分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式有（       ）

A．0

B．1种

C．无穷多种

D．前三个答案都不对

5 . 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.
(1)试判断集合和是否具有性质？并说明理由；
(2)若集合，求证：A不可能具有性质；
(3)若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.

6 . 已知，，…，是集合的n个非空子集，如果对于任意的i，，均有，则n的最大值为___________.

7 . 设集合，都是M的含有两个元素的子集，则______；若满足：对任意的,都有，且，则k的最大值是__________．

8 . 设n是正整数，我们说集合的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.

9 . 在的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为___________.

10 . 设，子集之积数定义为G中所有元素之乘积（空集的积数为零），求X中所有偶数个元素之子集的积数的总和是_________．