1 . 如图，
内接于
，
是的内心，过
作
的垂线交于点
，交
于点
，
是
的中点，连接
，过
作
于点
.证明：
(1)
；
(2)、、、四点共圆.
内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明：(1)
；(2)
、、、四点共圆.
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2 . 已知在中，角，
，
所对的边分别为
，
，
，且
，点为其外接圆的圆心.已知
，则当角取到最大值时的内切圆半径为________ .
中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则当角取到最大值时的内切圆半径为
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2021-04-17更新
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996次组卷
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3卷引用：湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考数学试题
3 . 如图，在等腰中，
，I为内心，M为
的中点，P为边
上一点，满足
，
延长线上一点H满足
，Q为的外接圆上劣弧
的中点．证明：
．
中，，I为内心，M为的中点，P为边上一点，满足，延长线上一点H满足，Q为的外接圆上劣弧的中点．证明：．
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4 . 作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积为________
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解题方法
5 . 如图，PO是三棱锥P-ABC底面ABC的垂线，垂足为O．
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心；
③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，则点O是△ABC的内心；
④过点P分别作边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，若PE=PF=PG，则点O是△ABC的重心．
以上推断正确的个数是（ ）
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的垂心；
②若PA=PB=PC，则点O是△ABC的外心；
③若∠PAB=∠PAC，∠PBA=∠PBC，则点O是△ABC的内心；
④过点P分别作边AB，BC，AC的垂线，垂足分别为E，F，G，若PE=PF=PG，则点O是△ABC的重心．
以上推断正确的个数是（ ）
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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6 . 已知锐角
，过点、的与边、分别交于点
、
，
为
外接圆的弧上一点．证明：
、
、
三线共点的充分必要条件是
的内心与
的内心重合．
，过点、的与边、分别交于点、，为外接圆的弧上一点．证明：、、三线共点的充分必要条件是的内心与的内心重合．
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7 . 已知椭圆
，
、
为其左、右焦点，为椭圆上任一点，
的重心为
，内心为，且有
.
（1）求椭圆的离心率
；
（2）过焦点的直线
与椭圆相交于点、，若
面积的最大值为3，求椭圆的方程.
，、为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心为，且有.（1）求椭圆
的离心率；（2）过焦点
的直线与椭圆相交于点、，若面积的最大值为3，求椭圆的方程.
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8 . 在锐角中，是外心，是内心，联结
的直线与的外接圆分别交于点
．证明：
，其中，
分别是外接圆与内切圆的半径．
中，是外心，是内心，联结的直线与的外接圆分别交于点．证明：，其中，分别是外接圆与内切圆的半径．
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9 . 设△ABC的外心为O，内心为I，∠B=45°.若OI∥BC，则cosC的值为_________ .
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10 . 设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________ .
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