1 . 如图，已知梯形中，，四边形为矩形，，平面⊥平面，点是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线和所成角的正弦值．
(3)求二面角的余弦值；
(4)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

2 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.

(1)求证：；
(2)直线PB与平面APD所成角的正弦值；
(3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.

3 . 如图，在四棱锥中，底面平面.

   

(1)证明：平面平面PAB.
(2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值.

4 . 如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

5 . 在三棱柱中，平面平面，，，，.

(1)证明：平面；
(2)若异面直线所成角的余弦值为，求BC.

6 . 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题：

(1)证明：直线平面；
(2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，.点E是边的中点.点F，G分别在线段，BC上，且.求直线与直线所成角的余弦值.

8 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形且，侧面底面，且侧面是正三角形，、分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的余弦值.

10 . 如图，在四棱锥中，，，，，平面．

(1)求证：平面；
(2)求的长；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值．