1 . 如图，已知梯形中，，四边形为矩形，，平面⊥平面，点是的中点．

(1)求证：平面；
(2)求异面直线和所成角的正弦值．
(3)求二面角的余弦值；
(4)若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．

2 . 如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面，，，点P为棱DF的中点．

(1)求证：平面APC；
(2)求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
(3)求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值：
(4)求点F到平面ACP的距离．

3 . 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；
(3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：
（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小

4 . 如图，、、为圆锥三条母线，.

(1)证明：；
(2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求平面和平面所成角的余弦值．

5 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，是边长为2的正三角形，，平面平面ABCD.

(1)求证：；
(2)直线PB与平面APD所成角的正弦值；
(3)求平面APD与平面PCD夹角的余弦值.

6 . 如图，在正四棱柱中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，.

(1)证明：，，，四点共面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为，若不存在，请说明理由；若存在求的长.
(3)若为棱上一点，当为何值时，平面与平面的夹角的正弦值最小？

7 . 如图，在四棱锥中，底面平面.

   

(1)证明：平面平面PAB.
(2)若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值.

8 . 如图，在六面体中，，且底面为菱形.

(1)证明：四边形为平行四边形.
(2)若平面，求平面与平面所成二面角的正弦值.

9 . 如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2 所示的五棱锥．

(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
(2)若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，.

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)判断线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.