2024高三·全国·专题练习
1 . 如图，在
中，O是外心，D是BC边的垂足．设
的外接圆与的九点圆交于X、Y两点．证明：
．
中，O是外心，D是BC边的垂足．设的外接圆与的九点圆交于X、Y两点．证明：．
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2023高三·全国·专题练习
2 . 如图所示，菱形
的对角线
与
交于点
，点
、
分别为
、
的中点，
交于点
，将
沿折起到
的位置.
(1)证明：
；
(2)若
，
，
，求二面角
的大小.
的对角线与交于点，点、分别为、的中点，交于点，将沿折起到的位置.(1)证明：
；(2)若
，，，求二面角的大小.
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3 . 已知非等腰锐角，
、
是它的两条高，又线段
与平行于
的中位线相交于点
．证明：经过的外心垂心的直线与直线
垂直．
，、是它的两条高，又线段与平行于的中位线相交于点．证明：经过的外心垂心的直线与直线垂直．
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4 . 如图，设四边形内接于圆，其边与
的延长线交于点
，与
的延长线交于点
，由作该圆的两条切线
和
，切点分别为，，则，，三点共线．
内接于圆，其边与的延长线交于点，与的延长线交于点，由作该圆的两条切线和，切点分别为，，则，，三点共线．
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5 . 如图，设
是的内心，过作
的垂线，分别交边，于，．求证：分别于及相切于及的圆
必与的外接圆相切．
是的内心，过作的垂线，分别交边，于，．求证：分别于及相切于及的圆必与的外接圆相切．
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6 . 如图，从半圆上的一点
向直径引垂线，设垂足为
，作
切
，，
分别于，，
．求证：
．
向直径引垂线，设垂足为，作切，，分别于，，．求证：．
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7 . 如图2，在锐角△ABC中，过点A作垂直于AB的直线l，过点B作垂直于BC的直线m，过点C作垂直于AC的直线n，其中，
，
，
，作△ABD，△BCE，△ACF的外接圆，证明：三圆共点于P，且
.
，，，作△ABD，△BCE，△ACF的外接圆，证明：三圆共点于P，且.
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8 . 在平面直角坐标系中，定义
为两点
、
的“切比雪夫距离”．则点P（3，1）到直线
上一点的“切比雪夫距离”的最小值为______ ．
为两点、的“切比雪夫距离”．则点P（3，1）到直线上一点的“切比雪夫距离”的最小值为
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9 . 如图1，设是一个锐角三角形，且
，
为其外接圆，
分别为其外心和垂心，为圆直径，
为线段上一动点且满足
.
(1)证明：
为中点；(2)过
作的平行线交于点，若为
的中点，证明： 
；(3)直线
与圆的另一交点为
（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为.证明：若
三线共点，则
；反之也成立.
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10 . 某地有四家工厂，分别位于矩形ABCD的四个顶点．已知
，
．为了处理这四家工厂的污水，当地政府打算在该矩形区域上（含边界）建造一个污水处理厂O，并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂．记需要铺设管道的总长度为L（单位：km）．现有以下两种建设方案．
(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部，并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通．求该方案下L的最小值；
(2)第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处，并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点，试确定该方案下L取得最小值时，分叉点P、Q的位置．
，．为了处理这四家工厂的污水，当地政府打算在该矩形区域上（含边界）建造一个污水处理厂O，并铺设一些管道连通各家工厂和污水处理厂．记需要铺设管道的总长度为L（单位：km）．现有以下两种建设方案．(1)第一种方案计划将污水处理厂建在矩形区域内部，并在各家工厂与污水处理厂之间用管道直接连通．求该方案下L的最小值；
(2)第二种方案计划将污水处理厂O建在对角线 AC、BD 的交点处，并在矩形区域内部选择两个关于 O 对称的点P、Q作为管道的分叉点，试确定该方案下L取得最小值时，分叉点P、Q的位置．
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