1 . .设数列
定义为
证明：
（1）当
时，
；
（2）
定义为 证明：（1）当
时， ；（2）
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2 . 已知函数
满足①
均大于0；②对于任意的
，
均为整数；③
．试判断，对于每个整数
是否为整数，并对你的结论给出论证．
满足①均大于0；②对于任意的，均为整数；③．试判断，对于每个整数是否为整数，并对你的结论给出论证．
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3 . 已知
为正实数，且
.求证：
为正实数，且.求证：
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4 . 设集合
，
是从
到的映射，且满足
.试求所有的三元数组
，使得
.
，是从到的映射，且满足.试求所有的三元数组，使得.
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2006高三·山东·竞赛
5 . 以椭圆
(a>1)的短轴端点B (0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰
.若这样的三角形有且只有一个,求a的取值范围.
(a>1)的短轴端点B (0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰.若这样的三角形有且只有一个,求a的取值范围.
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6 . 已知自然数
有20个正整数因子（包括1和本身），它们从小到大依次记作
，
，
，…，
，且序号为
的因数为
．求自然数．
有20个正整数因子（包括1和本身），它们从小到大依次记作，，，…，，且序号为的因数为．求自然数．
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7 . 设
，记
.求
的值.
，记.求的值.
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8 . 设
、
为给定整数，集合
.证明：对任意的
，有
.
、为给定整数，集合.证明：对任意的，有.
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9 . 解方程组：
.
.
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10 . 设
是给定的自然数，求所有正数对
，使得
是
的因式.
是给定的自然数，求所有正数对，使得是的因式.
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