1 . 如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

2 . 已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点．
(1)若，证明：直线必过坐标原点；
(2)设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．