1 . 以坐标原点为圆心的两个同心圆半径分别为和，为大圆上一动点，大圆半径与小圆相交于点轴于于点的轨迹为．

(1)求点轨迹的方程；
(2)点，若点在上，且直线的斜率乘积为，线段的中点，当直线与轴的截距为负数时，求的余弦值．

2 . 如图，动双曲线的一个焦点为，另一个焦点为，若该动双曲线的两支分别经过点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)斜率存在且不为零的直线过点，交（1）中点的轨迹于两点，直线与轴交于点，是直线上异于的一点，且满足.试探究是否存在确定的值，使得直线恒过线段的中点，若存在，求出值，若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆，过点直线，的斜率为，，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，且，，，任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线交直线，于，.

(1)求证：；
(2)的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

4 . 已知椭圆与轴正半轴交于点，直线与椭圆交于、两点，直线与直线的斜率分别记为，，
(1)求的值
(2)若直线与椭圆相交于、两点，直线、的斜率分别记作、，若，且在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．

5 . 已知椭圆的左，右顶点分别是，，且，是椭圆上异于，的不同的两点．
(1)若，证明：直线必过坐标原点；
(2)设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程．