1 . 将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．
(1)求E的方程：
(2)设直线AB，CD的倾斜角分别为，．当今时，
（i）求的值：
（ii）若有最大值，求的取值范围．

2 . 在平面直角坐标系中，点A是圆上一动点，点B是圆上一动点，当三点共线时，过点B作x轴的垂线，垂足为H，过点A作的垂线，垂足为P.
(1)请判断动点的轨迹，并求出其轨迹方程；
(2)记（1）中轨迹为曲线C，在曲线C的上半部分取两点M，N，若，且.
①当时，求四边形的面积；
②求四边形的面积最大时点M的坐标.

3 . ①离心率为；②经过点；③，请在上述三个条件中选择一个作为已知条件，回答下列问题．
已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆经过点，_________．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的斜率为的直线与椭圆交于点(异于点)，过与直线垂直的直线交椭圆于点，，记中点为，记的中点为，求满足的直线的斜率．

4 . 已知单位圆过圆外一点M作圆O的两条的切线，.
(1)当时，求动点M的轨迹方程；
(2)记直线，的斜率分别是，，若，求动点M的轨迹方程；
(3)现有曲线方程，过曲线外一点作两条互相垂直的切线，请直接写出和满足的关系式；若曲线方程为呢？和满足什么关系式？（直接写出）

5 . 已知椭圆与轴正半轴交于点，直线与椭圆交于、两点，直线与直线的斜率分别记为，，
(1)求的值
(2)若直线与椭圆相交于、两点，直线、的斜率分别记作、，若，且在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．

6 . 已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.

7 . 在上任取一点，记，当P在圆C上运动时，点Q的轨迹记为．
(1)写出的标准方程，并说明的离心率是定值（与无关）；
(2)当时，分别记为，若直线与交于4个点，在直线l上从上到下顺次记为A，B，C，D．
①与是否相等？证明你的结论；
②已知，求面积的最大值．

8 . 如图，已知椭圆：，椭圆：，，.为椭圆上一动点且在第一象限内，直线，分别交椭圆于，两点，连结交轴于点.过点作交椭圆于，且.

（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）若记，点的横坐标分别为，求的取值范围.

9 . 木工是家居装修中重要的角色，经过他们灵巧的双手，一件件堪称艺术品的木制家具被巧妙的制作出来，如图所示就是一种木工制图工具，是直滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内往复运动一次时，带动绕转动一周（不动时也不动），处的笔尖画出的曲线记为．

（1）判断曲线的形状，并说明理由；
（2）动点在曲线外，且点到曲线的两条切线相互垂直，求证：点在定圆上．

10 . 已知椭圆E中心在坐标原点，方程为，直线与椭圆交于A、B两点.
（1）当k=1时，若椭圆E上存在点C使得点O、A、C、B构成平行四边形OACB，求直线方程；
（2）若直线过左焦点F(不与x轴重合)，弦AB中点为点P，过F作的垂线，且直线与直线OP交于点G，求点G所在的轨迹方程.