1 . 设，，是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相交于，两点
（1）若线段的中点为，求直线的方程；
（2）若直线过椭圆的左焦点，，求的面积．

2 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.

（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
（3）过作轴的垂线，垂足为，若直线和直线倾斜角互补，且的面积为，求椭圆的方程.

3 . 已知椭圆：，过原点作射线交椭圆于，平行四边形的顶点，在椭圆上.
（1）若射线的斜率为，求直线的斜率；
（2）求证：四边形的面积为定值.

4 . 已知直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）若线段的中点为，求直线的方程；
（2）若的斜率为，且过椭圆的左焦点，的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值.

5 . 已知点，为椭圆:上异于点A,B的任意一点．
（Ⅰ）求证：直线、的斜率之积为-；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

6 . 椭圆（）的左、右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，若，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点关于轴的对称点在抛物线上，是否存在直线与椭圆交于，使得的中点落在直线上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出的方程，若不存在，说明理由.