1 . 设自然数
，由
个不同正整数
构成集合
，若集合
的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合
，记
为集合元素的个数
(1)已知集合
，集合
，分别求解
．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记
求证：数列
的前项和
．
，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数(1)已知集合
，集合，分别求解．(2)对于集合
，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”①求
的最大值（无需证明）．②已知集合
是极异集合，记求证：数列的前项和．
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2 . 在平面直角坐标系
中，我们把点
称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点
进行赋值记为
，例如
，
.
;
(2)求证:
;
(3)如果满足方程
，求的值.
中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.
;(2)求证:
;(3)如果
满足方程，求的值.
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3 . 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第
次得到的数列的所有项之和记为
.
(1)设第次构造后得的数列为
，则
，请用含
的代数式表达出
，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列
的通项公式；
(3)证明：
次得到的数列的所有项之和记为.(1)设第
次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；(2)求数列
的通项公式；(3)证明：
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2024-04-13更新
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395次组卷
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2卷引用：浙江省舟山市舟山中学2023-2024学年高二下学期4月清明返校测试数学试题
名校
解题方法
4 . 若正实数数列
满足
，则称是一个对数凸数列；若实数列
满足
，则称是一个凸数列.已知
是一个对数凸数列，
．
(1)证明：
；
(2)若
，证明：
；
(3)若
，
，求
的最大值．
满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，．(1)证明：
；(2)若
，证明：；(3)若
，，求的最大值．
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5 . 已知实数
，定义数列如下：如果
，
，则
．
(1)求
和
（用
表示）；
(2)令
，证明：
；
(3)若
，证明：对于任意正整数，存在正整数
，使得
．
，定义数列如下：如果，，则．(1)求
和（用表示）；(2)令
，证明：；(3)若
，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
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6 . 如果数列
同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数
，
对任意
都成立，则称这样的数列为“类等比数列”.
（1）若数列满足
证明数列为“类等比数列”，并求出相应的的值；
（2）若数列为“
类等比数列”，且满足
问是否存在常数
，使得
对任意
都成立？若存在，求出，若不存在，请举出反例.
同时满足以下两个条件：（1）各项均不为0；（2）存在常数，对任意
都成立，则称这样的数列为“类等比数列”.（1）若数列
满足证明数列为“类等比数列”，并求出相应的的值；（2）若数列
为“类等比数列”，且满足问是否存在常数，使得对任意都成立？若存在，求出，若不存在，请举出反例.
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