名校
1 . 设等差数列的公差,数列的前项和为,满足,且,.若实数,则称具有性质.
(1)请判断、是否具有性质,并说明理由;
(2)设为数列的前项和,,且恒成立.求证:对任意的,实数都不具有性质;
(3)设是数列的前项和,若对任意的,都具有性质,求所有满足条件的的值.
(1)请判断、是否具有性质,并说明理由;
(2)设为数列的前项和,,且恒成立.求证:对任意的,实数都不具有性质;
(3)设是数列的前项和,若对任意的,都具有性质,求所有满足条件的的值.
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2 . 今有一个“数列过滤器”,它会将进入的无穷非减正整数数列删去某些项,并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列,每次“过滤”会删去数列中除以余数为的项,将这样的操作记为操作.设数列是无穷非减正整数数列.
(1)若,进行操作后得到,设前项和为
①求.
②是否存在,使得成等差?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由.
(2)若,对进行与操作得到,再将中下标除以4余数为0,1的项删掉最终得到证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
(1)若,进行操作后得到,设前项和为
①求.
②是否存在,使得成等差?若存在,求出所有的;若不存在,说明理由.
(2)若,对进行与操作得到,再将中下标除以4余数为0,1的项删掉最终得到证明:每个大于1的奇平方数都是中相邻两项的和.
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2020-03-25更新
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658次组卷
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5卷引用:2020届江苏省盐城中学高三(尖子生班)下学期3月调研考试数学试题
名校
3 . 给定数列,若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.
(1)已知数列的通项公式为,试判断是否为封闭数列,并说明理由;
(2)已知数列满足且,设是该数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意都有,且,若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由;
(3)证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是:存在整数,使.
(1)已知数列的通项公式为,试判断是否为封闭数列,并说明理由;
(2)已知数列满足且,设是该数列的前项和,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意都有,且,若存在,求数列的首项的所有取值;若不存在,说明理由;
(3)证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是:存在整数,使.
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2020-01-01更新
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583次组卷
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3卷引用:2018年上海市青浦区高三4月质量调研(二模)数学试题
4 . 已知数列,若对任意的,,,存在正数使得,则称数列具有守恒性质,其中最小的称为数列的守恒数,记为.
(1)若数列是等差数列且公差为,前项和记为.
①证明:数列具有守恒性质,并求出其守恒数.
②数列是否具有守恒性质?并说明理由.
(2)若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质,且,求公比值的集合.
(1)若数列是等差数列且公差为,前项和记为.
①证明:数列具有守恒性质,并求出其守恒数.
②数列是否具有守恒性质?并说明理由.
(2)若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质,且,求公比值的集合.
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2020-03-12更新
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465次组卷
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2卷引用:2020届江苏省百校联考高三上学期第三次考试数学试题
解题方法
5 . 各项为正数的数列如果满足:存在实数,对任意正整数n,恒成立,且存在正整数n,使得或成立,则称数列为“紧密数列”,k称为“紧密数列”的“紧密度”.已知数列的各项为正数,前n项和为,且对任意正整数n,(A,B,C为常数)恒成立.
(1)当,,时,
①求数列的通项公式;
②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”;
(2)当时,已知数列和数列都为“紧密数列”,“紧密度”分别为,,且,,求实数B的取值范围.
(1)当,,时,
①求数列的通项公式;
②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”;
(2)当时,已知数列和数列都为“紧密数列”,“紧密度”分别为,,且,,求实数B的取值范围.
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名校
6 . 对于给定的正整数,若无穷数列对于任意的都满足:,则称数列,是数列.
(1)若,判断是否为数列,说明理由;
(2)若数列既是数列又是数列,求证:数列是等差数列.
(1)若,判断是否为数列,说明理由;
(2)若数列既是数列又是数列,求证:数列是等差数列.
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2018·上海浦东新·三模
名校
7 . 设,若无穷数列满足:对所有整数,都成立,则称“-折叠数列”.
(1)求所有的实数,使得通项公式为的数列是-折叠数列;
(2)给定常数,是否存在数列,使得对所有,都是-折叠数列,且的各项中恰有个不同的值?证明你的结论;
(3)设递增数列满足.已知如果对所有,都是-折叠数列,则的各项中至多只有个不同的值,证明:.
(1)求所有的实数,使得通项公式为的数列是-折叠数列;
(2)给定常数,是否存在数列,使得对所有,都是-折叠数列,且的各项中恰有个不同的值?证明你的结论;
(3)设递增数列满足.已知如果对所有,都是-折叠数列,则的各项中至多只有个不同的值,证明:.
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8 . 若无穷数列满足:对任意两个正整数,与至少有一个成立,则称这个数列为“和谐数列”.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得,,求p的所有可能值.
(Ⅰ)求证:若数列为等差数列,则为“和谐数列”;
(Ⅱ)求证:若数列为“和谐数列”,则数列从第项起为等差数列;
(Ⅲ)若是各项均为整数的“和谐数列”,满足,且存在使得,,求p的所有可能值.
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2020-02-09更新
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650次组卷
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2卷引用:北京市西城区2019-2020学年高二上学期期末数学试题
9 . 设n∈N*且n≥2,集合
(1)写出集合中的所有元素;
(2)设(,···,),(,···,)∈,证明“=”的充要条件是=(i=1,2,3,···,n);
(3)设集合={︳(,···,)∈},求中所有正数之和.
(1)写出集合中的所有元素;
(2)设(,···,),(,···,)∈,证明“=”的充要条件是=(i=1,2,3,···,n);
(3)设集合={︳(,···,)∈},求中所有正数之和.
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2020-02-15更新
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966次组卷
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3卷引用:2019年北京市丰台区高三(3月)模拟数学(理)
10 . 已知无穷数列,,满足:对任意的,都有=,=,=.记=(表示个实数,,中的最大值).
(1)若=,=,=,求,,的值;
(2)若=,=,求满足=的的所有值;
(3)设,,是非零整数,且,,互不相等,证明:存在正整数,使得数列,,中有且只有一个数列自第项起各项均为.
(1)若=,=,=,求,,的值;
(2)若=,=,求满足=的的所有值;
(3)设,,是非零整数,且,,互不相等,证明:存在正整数,使得数列,,中有且只有一个数列自第项起各项均为.
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