1 . 二次函数图象的顶点在原点，经过点；点在轴上，直线与轴交于点．

   

(1)求二次函数的解析式；
(2)点是抛物线上的点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：；
(3)当是等边三角形时，求点的坐标．

2 . 如图，内接于，直径经过弦的中点，交的延长线于点，连接，.

(1)求证：是等边三角形；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径.

3 . 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商店每天有最大销售利润为多少元？

4 . 春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.

5 . 如图1，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C.

   

(1)求的面积；
(2)如图1，若，过点D作交y轴于点E，点P是抛物线上BC下方的一动点，连接PD，PE，求面积的最大值以及取最大值时点P的坐标；
(3)将原抛物线向左平移2个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F.在（2）的条件下，在直线BC上存在一点M，平面直角坐标系中存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形.求所有符合条件的点N的坐标.

6 . 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E.

(1)求反比例函数的表达式及点E的坐标；
(2)若点F是OC边上的一点，且为等腰三角形，求直线FB的表达式.

7 . 根据以下素材，探索完成任务.
【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂.

【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离.
【素材3】参考数据：，，，.
(1)求A、C两点之间的距离.（结果精确到0.1m）
(2)求OD长.

8 . 自古以来，“福”是人们祝吉的绝妙佳词，是人们共同追求的人生目标，也是中华民族千古永恒的祈福迎祥主题.龙年来临之际，某班开展了“迎龙年新春，写创意福字”的活动.下列作品是四张编号分别为的创意福卡，除图案外其它均相同.现将四张卡片图案面朝下，洗匀后放在桌面上.小明从中随机抽取一张卡片后放回，再从中任意抽取一张后对两张卡片进行创意解说.

   

(1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明抽到卡片所有可能出现的结果总数；
(2)求小明抽到的两张卡片图案恰好相同的概率.

9 . 某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高气温（单位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是________年.（选填“2022”或“2023”）

	1日	2日	3日	4日	5日
2022年	26	27	30	33	31
2023年	22	25	24	24	22

10 . 如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P从点A出发，沿向点D运动.设点P的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（       ）

   

A．四边形的面积为12	B．AD边的长为4
C．当时，是等边三角形	D．当的面积为3时，x的值为3或10