1 . 给定.若共取有限个不同值，证明：x，.

2 . 如图，是的一条弦，的垂直平分线交于两点，交于点．为内一点，外接圆交于点的外接圆交于点，且点在直线同侧．证明：．

3 . 求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.

4 . 已知平面上100个不同的点构成的集合中每两点的距离不小于1.证明：能从中选出4个点，使得它们两两之间的距离至少为2.

5 . 已知是抛物线上三个不同的动点，有两边所在的直线与抛物线相切.证明：的重心在定直线上.

6 . 设为给定的正整数，实数及满足如下条件：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
证明：对一切，均有．

7 . 在锐角中，D为边上一定点，P为边上一动点，直线交于点Q，交于点X．、、的三个外接圆分别交于X外的另三点、、，过、、分别作垂线、、，证明：、、均过定点．

8 . 证明：如下构造的空间曲线的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线的构造：作周长为的圆，在圆上取使的长度，并以为轴将旋转得弧，在圆上取，使的长度的长度，并以为轴将旋转度得弧，这样，由弧组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）

9 . 对于正整数，如果严格递增的非负整数数列，使得所有非负整数可以唯一地表示为，其中i､j､k可以相同，则称数列，为好的.
（1）证明：对任意正整数n，存在唯一的好的数列.
（2）已知存在最小的正奇数m，使得在好的数列中有，求的值.

10 . 已知上依次四点A､B､C､D，射线交于点P.射线交于点Q，弦交于点R，点M为线段的中点.过点O作的垂线，分别于点U､V.过点U作的切线，与切于点K.

证明：（1）P､Q､V､O四点共圆；
（2）K､M､R三点共线.