1 . 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：.

(1)若点在：上，记G的几何中心为点，则当取得最大值时，求点的坐标.
(2)已知动点、在C上，分别过、作抛物线的切线、，设和相交于点T，若点T恒在直线：上，求证：直线经过定点.
(3)将绕原点顺时针旋转90°得到，给定点，上有四点、、、，满足，、均三点共线，且、都在x轴上方，设线段和的中点分别为T、S，试判断：直线是否会经过一个定点？若会，请求出这个定点的坐标，若不会，请说明理由.

2 . 已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形.

(1)如图1，即为黄金三角形尺规作图.已知，求长为______，为______.
(2)如图2，即为正五边形尺规作图.求证：五边形（所作图形）即为正五边形.
(3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形.简要叙述作图方法，无需作图.

3 . 如图所示，锐角的三条高线AD，BE，CF交于点H，过点F作交直线BC于点G，设CFG的外接圆为与直线AC的另一个交点为P，过P作交直线AD于点Q，连接OD，OQ.求证:.

4 . 已知、是椭圆上两动点，为原点，定点，向量，在向量方向上的投影分别为，，且，动点满足．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)记点，，求证：无论动点在轨迹上如何运动，恒为一个常数．

5 . 求证：数列中一定有2022的倍数．

6 . 过曲线：上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，已知．
(1)求点，的坐标；
(2)求数列的通项公式；
(3)记点到直线（即直线）的距离为，求证：．

7 . 已知为方程的解，，
(1)求证：.
(2)求的值.

8 . 设是正整数，整系数多项式满足．整系数多项式，，满足和，其中是一个不整除的素数．求证：的非常数项的系数均为的倍数．

9 . 如图，在中，的平分线与边交于点D，与外接圆上弧BC交于点M．E、F分别为边AB、AC的中点，点P、Q分别在射线ME、MF上，满足，，求证：点D关于直线PQ的对称点在的外接圆上．

10 . 已知复数，，…，，，，…，，满足，，…，互不相同，，，…，互不相同．已知对任意正整数，均有．求证：，．