1 . 如图，给定外心为的锐角，令分别为到对边的垂足.为的外接圆在和处的切线的交点.一条经过且垂直于的直线交直线于为在上的投影.证明：.

2 . 近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差（多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示），多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为 ，故其总曲率为.
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是常数.

3 . 如图，以为直径的圆上有C、D两点，、两点的中点为E、F，直线与直线、分别交于G、H，求证：以为直径的圆和以为直径的圆有一交点在上．

4 . 设n是正整数，我们说集合的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.

5 . 设正实数满足对任意有，求证：!．

6 . 若数列，求证：存在无穷多个正整数n，使得，并确定是否存在无穷多个正整数n使得？（这里表示不超过x的最大整数）

7 . 对于区间与函数，定义区间Ⅰ的长度为．已知二次函数对于任何长度为1的区间Ⅰ，均有，求证：对于任何长度为2的区间J，均有．

8 . 如果正整数n满足存在正整数a、b、c使得，则称n为好数．求证：存在连续2020个正整数这2020个正整数都是好数．
注：对于正整数x，y，表示x，y的最大公因数．

9 . 设和为两组复数，满足：．求证：存在数组（其中），使得．

10 . 对每个正整数n，定义为从1到n中所有与n不互质的正整数的和.求证：若且，则是合数.